Съдържание

НОФ 2013, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Ускорител на протони

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2013

Областен кръг на олимпиадата по физика 2013, тема за възрастова група – IX клас · 24 февруари 2013 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показано устройството на елементарен ускорител на протони, известен като „генератор на Ван дер Грааф”. Той се състои от наелектризирана метална сфера с радиус $R = 1\ \mathrm{m}$ . В центъра на сферата се намира източник $И$ , който излъчва протони с начална скорост $v_0 = 1000\ \mathrm{m/s}$ . Протоните минават през малък отвор в сферата и продължават да се движат извън нея, докато стигнат мишената $M$ , разположена на разстояние $d = 10\ \mathrm{m}$ от центъра на сферата.

Кръг, изобразяващ метална сфера с радиус R; в центъра точка И със стрелка v0 надясно; точки A и B върху обвивката горе вдясно; пунктирана линия до точка M вдясно. — Фиг. 1 — наелектризирана метална сфера с радиус $R$ , източник $И$ в центъра ѝ, точки $A$ (отвътре) и $B$ (отвън) върху сферата, начална скорост $v_0$ на протоните и мишена $M$ .

Данни:

Константа в закона на Кулон, $k = 9\cdot 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ ;

Елементарен електричен заряд: $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$ ;

Маса на протона, $m = 1{,}7\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ .

Силата на земното привличане се пренебрегва. Електричното поле извън наелектризирана метална сфера е еквивалентно на полето на точков заряд, разположен в центъра на сферата.

а) На сферата е придаден заряд $Q = 2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}$ , който е разпределен равномерно по цялата й повърхност. Колко е интензитетът $E$ на електричното поле в точките $A$ и $B$ , разположени съответно от вътрешната и от външната страна на сферата? [2,5 т.]

б) С каква скорост $v_1$ протоните излизат от отвора? [1 т.]

в) Колко е ускорението $a$ на даден протон веднага, след като излезе от отвора? [2,5 т.]

г) Колко е потенциалът $\varphi_1$ на електричното поле върху повърхността на сферата и $\varphi_2$ – върху мишената? [2 т.]

д) С каква скорост $v_2$ протоните достигат мишената? [2 т.]

Отговори

Решение

а) Интензитетът на електричното поле във вътрешността на какво да е метално тяло е нула. Следователно:

E_A = 0.

[1,0 т]

Ако липсва обосновка, се отнемат 0,5 т.

Интензитетът вън от сферата е равен на интензитета, създаден от точков заряд $Q$ , разположен в центъра й:

E_B = \frac{kQ}{R^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}\cdot 2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}}{(1\ \mathrm{m})^2} = 1{,}8\cdot 10^{6}\ \mathrm{N/C}

[1,5 т]

За липсващ или грешен числен отговор от резултата се отнемат 0,5 т.

б) Понеже интензитетът на полето вътре в сферата е равен на нула, на протоните не действа електрична сила. Следователно те се движат равномерно и праволинейно, докато достигнат отвора, т.е.

v_1 = v_0 = 1000\ \mathrm{m/s}.

[1,0 т]

Ако липсва обосновка, се отнемат 0,5 т.

в) На протон, излязъл от отвора, действа сила:

F = eE_B.

[1,0 т]

От II принцип на Нютон следва, че:

a = \frac{F}{m} = \frac{eE_B}{m} = \frac{1{,}8\cdot 10^{6}\ \mathrm{N/C}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}}{1{,}7\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}} \approx 1{,}7\cdot 10^{14}\ \mathrm{m/s^2}

[1,5 т]

За липсващ или грешен числен отговор от резултата се отнемат 0,5 т.

г) Потенциалът на повърхността на сферата е:

\varphi_1 = \frac{kQ}{R} = \frac{9\cdot 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}\cdot 2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}}{1\ \mathrm{m}} = 1{,}8\cdot 10^{6}\ \mathrm{V},

[1,0 т]

а в точката $M$ :

\varphi_2 = \frac{kQ}{d} = \frac{9\cdot 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}\cdot 2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}}{10\ \mathrm{m}} = 1{,}8\cdot 10^{5}\ \mathrm{V}

[1,0 т]

За всеки липсващ или грешен числен отговор от резултата се отнемат по 0,5 т.

д) От закона за запазване на енергията следва:

\frac{mv_1^2}{2} + e\varphi_1 = \frac{mv_2^2}{2} + e\varphi_2,

[1,0 т]

откъдето:

v_2 = \sqrt{v_1^2 + \frac{2e(\varphi_1 - \varphi_2)}{m}} \approx 1{,}7\cdot 10^{7}\ \mathrm{m/s}.

[1,0 т]

За липсващ или грешен числен отговор от резултата се отнемат 0,5 т.

Оригинал в Архива: NOF2_2013_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2013_9solutions.pdf