Съдържание

НОФ 2013, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 4. Слънчево греене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2013

Олимпиада по физика 2013, Национален кръг, Силистра — тема за 10-12 клас · 20 април 2013 г. · 15 т.

Условие

а) Изчислете каква енергия на единица площ пада от Слънцето върху Земята. Приемете, че Слънцето излъчва като абсолютно черно тяло.

Известни данни:

Величина	Стойност
Радиус на Слънцето	$\mathrm{R} = 6{,}963.10^{8}\ \mathrm{m}$
Разстояние Слънце-Земя	$\mathrm{L} = 1{,}496.10^{11}\ \mathrm{m}$
Константа на Стефан-Болцман	$\sigma = 5{,}670.10^{-8}\ \mathrm{W/m^2 . K^4}$
Ефективна температура на Слънцето	$\mathrm{T_S} = 5778\ \mathrm{K}$
Константа на Вин	$\mathrm{b} = 2{,}898.10^{-3}\ \mathrm{m . K}$

[3 т.]

б) С леща с диаметър D = 10,0 cm и фокусно разстояние f = 35,0 cm фокусирате образа на Слънцето върху екран. Колко ще е диаметърът d на образа на Слънцето? [2 т.]

в) Махате екрана и на мястото на образа слагате метално черно топче със същия диаметър, какъвто е на наблюдавания образ на Слънцето. Ако приемете, че топчето поглъща цялата падаща слънчева светлина, както и че топчето е в термодинамично равновесие и излъчва като абсолютно черно тяло, намерете равновесната температура T на топчето. Приемете също така, че земната атмосфера е напълно прозрачна за слънчевата светлина [4 т.]

г) При какви параметри на задачата получената от Вас формула в предното подусловие ще дава резултати, противоречащи на втория принцип на термодинамиката? Как ще обясните парадокса? [2 т.]

д) Разполагате със следната графична зависимост:

където $\mathrm{x} = \lambda_0/\lambda_{\max}$ , $\lambda_0$ - избрана от нас дължина на вълната, $\lambda_{\max}$ - дължината на вълната, на която абсолютното черно тяло има максимално излъчване, а $\mathrm{y} = \mathrm{P}(\lambda < \lambda_0)/\mathrm{P}(\forall\lambda)$ , където $\mathrm{P}(\lambda < \lambda_0)$ е излъчената мощност за дължини на вълните, по-малки от $\lambda_0$ , а $\mathrm{P}(\forall\lambda)$ - цялата излъчена мощност от абсолютно черното тяло.

S-образна нарастваща крива върху милиметрова мрежа: оста x е от 0 до около 2,3 със стъпка 0,2, оста y е от 0 до 0,8 със стъпка 0,1; кривата тръгва от нулата, минава през около 0,25 при x = 1,0 и достига 0,8 при x = 2,3. — Дадената графична зависимост $y = P(\lambda < \lambda_0)/P(\forall\lambda)$ от $x = \lambda_0/\lambda_{\max}$ за абсолютно черно тяло.

Приемете, че видимата (VIS) област е в интервала 400 – 760 nm, а останалите две области от електромагнитния диапазон ще наричаме условно Инфрачервена (IR) област ( $\lambda > 760\ \mathrm{nm}$ ) и Ултравиолетова (UV) област ( $\lambda < 400\ \mathrm{nm}$ ). Използвайки графиката, намерете какви части от енергията си (в %) Слънцето излъчва в тези три области. Изчислете същото и за топчето. Подредете резултатите в таблица. Допълнете я с допълнителни колони, ако е нужно.

Обект	IR	VIS	UV
Слънце
Топче

[4 т.]

Отговори

Решение

а) $\dfrac{\Delta E}{\Delta S} = \dfrac{\sigma 4\pi R^2 T_S^{\,4}}{4\pi L^2} = \sigma\left(\dfrac{R}{L}\right)^2 T_S^{\,4}$ [2 т.] $\approx 1370\ \mathrm{W/m^2}$ . [1 т.]

б) $\dfrac{d}{2f} = \dfrac{R}{L}$ , $\ d = \dfrac{2fR}{L}$ [1 т.] $\approx 3{,}26\ \mathrm{mm}$ . [1 т.]

в) От баланса на енергията за топчето, $\dfrac{\Delta E}{\Delta S}\dfrac{\pi D^2}{4} = \sigma\pi d^2T^4$ , [2 т.] откъдето $T = \sqrt[4]{\dfrac{1}{\sigma}\dfrac{\Delta E}{\Delta S}}\sqrt{\dfrac{D}{2d}}$ [1 т.] $\approx 1540\ \mathrm{K}$ . [1 т.]

г) Температурата на топчето може да се изрази от предните формули и така: $T = T_S\sqrt{\dfrac{D}{4f}}$ . [1 т.] От тази формула се вижда, че при достатъчно голямо отношение на $D/f$ (ако стане по-голямо от 4), $T > T_s$ , което противоречи на втория принцип на термодинамиката. Парадоксът се състои в предположението, че лещата пропуска (и фокусира) цялата паднала върху нея енергия. Всъщност, колкото по-късофокусна леща искаме да направим, трябва да използваме или материали с голям показател на пречупване, или повърхности с малки радиуси на кривина (или и двете). Това води до големи отражения. [1 т.]

д) От закона на Вин намираме $\lambda_{S\,\max} = \dfrac{b}{T_S} \approx 502\ \mathrm{nm}$ , [0,5 т.] $\lambda_{\max} = \dfrac{b}{T} \approx 1880\ \mathrm{nm}$ . [0,5 т.] Допълваме дадената таблица и използвайки дадената графика получаваме следните стойности: [3 т.]

Обект	T,K	$\lambda_{\max}$ , nm	$\lambda_{\mathrm{IR}}/\lambda_{\max}$	$\lambda_{\mathrm{UV}}/\lambda_{\max}$	IR, %	VIS, %	UV, %
Слънце	5778	502	1,51	0,80	45	42	13
топче	1540	1880	0,40	0,21	98	1	1

Оригинал в Архива: NOF3_2013_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2013_10-12solutionsD1.pdf