НОФ 2013, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Шамандура

• а) $c = a - \frac{m}{\rho a^2} = 0{,}1\ \mathrm{m} - \frac{0{,}1\ \mathrm{kg}}{10^3\ \mathrm{kg/m^3}\cdot(0{,}1\ \mathrm{m})^2} = 0{,}09\ \mathrm{m} = 9\ \mathrm{cm}$

• б) $F_0 = \rho a^3 g - mg = 10^3\ \mathrm{kg/m^3}\cdot(0{,}1\ \mathrm{m})^3\cdot 10\ \mathrm{m/s^2} - 0{,}1\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2} = 9\ \mathrm{N}$

• в) $l = \frac{a}{2}\left(-1 + \frac{\rho a^3}{m}\right) = 5\ \mathrm{cm}\cdot\left[-1 + \frac{10^3\ \mathrm{kg/m^3}\cdot(0{,}1\,\mathrm{m})^3}{0{,}1\ \mathrm{kg}}\right] = 45\ \mathrm{cm}$

• г) $C = \frac{2ga}{v_{\max}^2}\left(1 - \frac{m}{\rho a^3}\right) \approx 1{,}1$

• д) $mv_{\max}^2/2 = mg(h-l) \;\Rightarrow\; h = l + \frac{v_{\max}^2}{2g} = 0{,}45\ \mathrm{m} + \frac{(1{,}3\,\mathrm{m/s})^2}{2\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}} \approx 53\ \mathrm{cm}$

  В отпечатаното решение равенството е записано като $l = h + v_{\max}^2/2g$, докато числената стойност е получена като $h = l + v_{\max}^2/2g = 0{,}45\ \mathrm{m} + (1{,}3\ \mathrm{m/s})^2/(2\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}) \approx 53\ \mathrm{cm}$ — т.е. в оригинала $l$ и $h$ са разменени в записа на равенството.

а) В равновесие (покой) силата на тежестта на тялото се уравновесява от действащата му Архимедова сила: $mg = \rho a^2 (a - c) g$, откъдето $c = a - \dfrac{m}{\rho a^2}$ [1 т.] $= 0{,}1\ \mathrm{m} - 0{,}1\ \mathrm{kg}/[10^3\ \mathrm{kg/m^3}\cdot(0{,}1\ \mathrm{m})^2] = 0{,}09\ \mathrm{m} = 9\ \mathrm{cm}$ [1 т.]

б) За да е тялото изцяло потопено и в покой, сумата от трите действащи му сили трябва да е нула: $F_0 + mg = F_A$, откъдето $F_0 = \rho a^3 g - mg$ [0.5 т.] $= 10^3\ \mathrm{kg/m^3}\cdot(0{,}1\ \mathrm{m})^3\cdot 10\ \mathrm{m/s^2} - 0{,}1\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2} = 9\ \mathrm{N}$. [0.5 т.]

в) Прилагайки закона за изменение на механичната енергия: $\Delta E = A_{F_A}$ [0.5 т.]. Следователно $mgl - mg\dfrac{-a}{2} = \dfrac{1}{2}\rho a^3 g a$, [0.5 т.] откъдето $l = \dfrac{a}{2}\left(-1 + \dfrac{\rho a^3}{m}\right)$ [1 т.] $= 5\ \mathrm{cm}\cdot\left[-1 + \dfrac{10^3\,\mathrm{kg/m^3}\cdot(0{,}1\mathrm{m})^3}{0{,}1\mathrm{kg}}\right] = 45\ \mathrm{cm}$. [1 т.]

г) При изплуване с постоянна скорост, $F_A = mg + F_{тр}$, [0.5 т.] или $\rho a^3 g = mg + \dfrac{1}{2}C\rho a^2 v_{\max}^2$ [0.5 т.], откъдето $C = \dfrac{2ga}{v_{\max}^2}\left(1 - \dfrac{m}{\rho a^3}\right)$ [0.5 т.] $\approx 1{,}1$ [0.5 т.]

д) Максималната височина $h$ над повърхността на водата, на която ще отскочи тялото, може да намерим като я сравним с резултата от подусловие в). Сега в „начално“ положение тялото има допълнителна кинетична енергия. [0.5 т.] Тя ще се превърне в допълнителна потенциална енергия, или $mv_{\max}^2/2 = mg(h - l)$, [0.5 т.] $l = h + \dfrac{v_{\max}^2}{2g}$ [0.5 т.] $= 0{,}45\ \mathrm{m} + \dfrac{(1{,}3\mathrm{m/s})^2}{2.10\,\mathrm{m/s^2}} \approx 53\ \mathrm{cm}$. [0.5 т.]

(Бележка на транскрипцията: „$2.10\ \mathrm{m/s^2}$“ означава $2\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}$. В отпечатаното решение равенството е записано като $l = h + v_{\max}^2/2g$, но заместването е направено като $h = l + v_{\max}^2/2g$; вярно е второто — оттам $h \approx 53\ \mathrm{cm}$.)