Съдържание

НОФ 2013, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. КПД на цикъл от две изохори и две изобари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2013

Национален кръг на олимпиадата по физика 2013, Тема за 9. клас · 20 април 2013 г. · 10 т.

Условие

С определено количество идеален газ се извършва цикъл, състоящ се от две изохори и две изобари (фиг. 3). Цикълът работи между минимална температура $T_{\min} = 289\ \mathrm{K}$ и максимална температура $T_{\max} = 625\ \mathrm{K}$ . Състоянията 2 и 4 лежат на една изотерма.

p–V диаграма с правоъгълен цикъл; върховете са означени 1 (долу вляво), 2 (горе вляво), 3 (горе вдясно) и 4 (долу вдясно). — Фиг. 3. Цикълът 1–2–3–4–1 в координати $p$ – $V$ — правоъгълник от две изохори и две изобари.

Вътрешната енергия $U$ на даденото количество газ зависи само от температурата $T$ и се дава с израза $U = (3/2)BT$ , където $B$ е газовата константа.

а) Намерете температурата $T_0$ на изотермния процес, върху който лежат състоянията 2 и 4. [3 т.]

б) Покажете, че КПД $\eta$ на топлинна машина, работеща по дадения цикъл, зависи само от отношението $T_{\min}/T_{\max}$ и намерете стойността му. [7 т.]

Отговори

Решение

а) В цикъла състояние 1 има температура $T_1 = T_{\min}$ , а състояние 3 – температура $T_3 = T_{\max}$ . Процесът 1–2 е изохорен и

\frac{p_1}{T_{\min}} = \frac{p_2}{T_0} .

(0,5 т.)

p–V диаграма на правоъгълния цикъл с пунктирни линии към осите за p1, p2, V1 и V2. — Фиг. 2 (към решението). Същият цикъл с означени налягания $p_1$ , $p_2$ и обеми $V_1$ , $V_2$ .

От друга страна процесът 2–3 е изобарен и

\frac{V_2}{T_{\max}} = \frac{V_1}{T_0} .

(0,5 т.)

От почленното умножение на двете равенства следва

\frac{p_1V_2}{T_{\min}T_{\max}} = \frac{p_2V_1}{T_0^2} .

(0,5 т.)

Като отчетем, че състоянията 2 и 3 лежат на една изотерма и $p_1V_2 = p_2V_1$ (0,5 т.) намираме

T_0 = \sqrt{T_{\min}T_{\max}} = 425\ \mathrm{K} .

(1 т.)

б) По определение КПД на цикъла е

\eta = \frac{A}{Q_{\text{пол}}} ,

(0,5 т.)

където $A$ е извършената от газа работа за един цикъл, а $Q_{\text{пол}}$ е полученото от газа количество топлина за един цикъл. Извършената от газа работа е

A = \frac{1}{2}(p_1 + p_2)(V_2 - V_1) .

(0,5 т.)

От уравнението на състояние на газа следва

p_1V_1 = BT_{\min} , \qquad p_1V_2 = p_2V_1 = BT_0 , \qquad p_2V_2 = BT_{\max} ,

(1,5 т.)

при което получаваме

A = B(T_{\max} + T_{\min} - 2T_0) = B\left(\sqrt{T_{\max}} - \sqrt{T_{\min}}\right)^2 .

(1 т.)

Газът получава топлина в процеса 1–2–3. От първия принцип на термодинамиката следва

Q_{\text{пол}} = U_3 - U_1 + p_2(V_2 - V_1) = \frac{3}{2}B(T_{\max} - T_{\min}) + B(T_{\max} - T_0) ,

(1 т.)

който можем да препишем във вида

Q_{\text{пол}} = \frac{5}{2}B\left(\sqrt{T_{\max}} - \sqrt{T_{\min}}\right)\left(\sqrt{T_{\max}} + \frac{3}{5}\sqrt{T_{\min}}\right) .

(1 т.)

Тогава за коефициента на полезно действие имаме

\eta = \frac{2}{5}\,\frac{1 - \sqrt{T_{\min}/T_{\max}}}{1 + \dfrac{3}{5}\sqrt{T_{\min}/T_{\max}}} = \frac{1}{11} \approx 0{,}09 .

(1,5 т.)

Бележки на архива: (1) в реда „състоянията 2 и 3 лежат на една изотерма“ в оригинала се имат предвид състоянията 2 и 4, както е дадено в условието; (2) отпечатаният израз $A = \frac{1}{2}(p_1+p_2)(V_2-V_1)$ е печатна грешка — за правоъгълния цикъл площта е $(p_2-p_1)(V_2-V_1)$ , което води точно до използвания на следващия ред резултат $A = B(T_{\max}+T_{\min}-2T_0)$ .

Оригинал в Архива: NOF3_2013_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2013_9solutions.pdf