НОФ 2014, I кръг (общински), 10–12 клас — Задача 2

• Б) 25.5 m²
• В) 11
• Г) червена светлина

А) За верен чертеж (1 т.).

[[p2-sol-fig1]]

Законът на Снелиус е:

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{n_0}{n}$ (1 т.)

Да се приеме за вярно в случай, че някои ученици са положили $n_0 = 1$. Важно е от чертежа да е ясно, че ъгъла на пречупване е по-голям от ъгъла на падане!

Б) Областта, която ще може да види човекът се ограничава от явлението пълно вътрешно отражение (1 т.). Като отчетем, че показателят на пречупване на въздуха е $n_0 = 1$,

$\sin\alpha_{\text{гр}} = \dfrac{1}{n}$ (1 т.)

$\dfrac{\mathrm{R}}{\sqrt{\mathrm{R}^2 + h^2}} = \dfrac{1}{n}$ (1 т.)

[[p2-sol-fig2]]

След повдигане на втора степен и двете страни на уравнението и елементарни математически преобразования се получава за радиуса:

$R = \dfrac{h}{\sqrt{n^2 - 1}} = 2{,}85\ \mathrm{m}$ (2 т.) Следователно търсената площ е $S = \pi.R^2 = 25{,}5\ \mathrm{m^2}$ (1 т.)

В) Лампичките са разположени на разстояние през 50 cm. Следователно без да броим „централната” лампичка, ще можем да видим надясно 5 лампички. Аналогично наляво също 5 лампички. Като отчетем и „централната” лампичка се получават 11 лампички. (1 т.)

Г) Човешкото око не е чувствително към определена дължина на вълната, а към честота на електромагнитно трептене. Честотата не се променя при разпространението на вълната в друга среда. Следователно ще се вижда червена светлина. (1 т.)