НОФ 2015, I кръг (общински), 8. клас — Задача 1. Колоездачна надпревара

• а) $v_{cpA} = \frac{2v_{1A}v_{2A}}{v_{1A}+v_{2A}} = 12{,}48\ \mathrm{m/s};\quad v_{cpB} = \frac{v_{1B}+v_{2B}}{2} = 12{,}5\ \mathrm{m/s}$

  Два отговора: $v_{cpA} = 12{,}48$ m/s и $v_{cpB} = 12{,}5$ m/s (± 0,01 m/s).

• б) $\Delta t = s\frac{v_{cpB}-v_{cpA}}{v_{cpA}v_{cpB}} \approx 0{,}38\ \mathrm{s}$

  Първи финишира колоездач $B$, защото средната му скорост е по-голяма.

• в) $\Delta s = s\frac{v_{cpB}-v_{cpA}}{v_{cpB}} = 4{,}8\ \mathrm{m}$

а) По определение средната скорост е $v_{cp} = s/t$ [0,5 т.], където $s$ е изминатото разстояние за време $t$. За колоездача $A$ имаме $v_{cpA} = \dfrac{s}{t_{1A} + t_{2A}}$, [1 т.] където $t_{1A} = s/2v_{1A}$ [0,5 т.], а $t_{2A} = s/2v_{2A}$ [0,5 т.]. След заместване в горната формула за средната скорост на колоездач $A$ получаваме

$v_{cpA} = \dfrac{s}{\dfrac{s}{2v_{1A}} + \dfrac{s}{2v_{2A}}} = \dfrac{2v_{1A}v_{2A}}{v_{1A} + v_{2A}} = 12{,}48\ \mathrm{m/s}.$ [1 т.]

Аналогично за колоездач $B$ имаме $v_{cpB} = \dfrac{s_1 + s_2}{t_B}$, [1 т.] където $s_1 = v_{1B}(t_B/2)$ [0,5 т.], а $s_2 = v_{2B}(t_B/2)$ [0,5 т.]. След заместване за средната скорост на колоездач $B$ получаваме

$v_{cpB} = \dfrac{v_{1B}(t_B/2) + v_{2B}(t_B/2)}{t_B} = \dfrac{v_{1B} + v_{2B}}{2} = 12{,}5\ \mathrm{m/s}.$ [1 т.]

б) Времето на движение на всеки колоездач може да бъде намерено чрез средната му скорост – $t = s/v_{cp}$. Тъй като средната скорост на колоездач $B$ е по-голяма от тази на колоездач $A$, той ще финишира пръв [0,5 т.]. Колоездачът $B$ ще изпревари колоездача $A$ с време

$\Delta t = \dfrac{s}{v_{cpA}} - \dfrac{s}{v_{cpB}} = s\,\dfrac{v_{cpB} - v_{cpA}}{v_{cpA}v_{cpB}} \approx 0{,}38\ \mathrm{s}.$ [1 т.]

в) В момента на финиширането на колоездач $B$ той е изминал разстояние $s$ [0,5 т.], а колоездач $A$ – разстояние $s_A = v_{cpA}t_B = v_{cpA}s/v_{cpB}$ [0,5 т.]. Тогава разстоянието между тях ще бъде

$\Delta s = s - s_A = s\left(1 - \dfrac{v_{cpA}}{v_{cpB}}\right) = s\,\dfrac{v_{cpB} - v_{cpA}}{v_{cpB}} = 4{,}8\ \mathrm{m}$ [1 т.]

т.е. колоездач $B$ е изпреварил колоездач $A$ с 4,8 m.