НОФ 2015, II кръг (областен), 8. клас — Задача 2. Топка, хвърлена вертикално нагоре

• а) $v_0 = \frac{2H}{t_1} = 22\ \mathrm{m/s}$

• б) $a_1 = \frac{v_0}{t_1} = 11\ \mathrm{m/s^2}$

• в) $t_2 = \sqrt{\frac{2H}{a_2}} \approx 2{,}26\ \mathrm{s},\quad a_2 = 2g - a_1 = 8{,}6\ \mathrm{m/s^2}$

• г) $v = \sqrt{2Ha_2} \approx 19{,}5\ \mathrm{m/s}$

  По формулата $v = a_2 t_2$ с приближената стойност $t_2 \approx 2{,}26\ \mathrm{s}$ се получава $\approx 19{,}4\ \mathrm{m/s}$; с междинната стойност $t_2 \approx 2{,}262\ \mathrm{s}$ резултатът не зависи от използваната формула.

а) Движението нагоре става със средна скорост $v_0/2$ [0,5 т.], при което получаваме

$v_0 = \dfrac{2H}{t_1} = 22\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

б) Тъй като на височина $H$ скоростта на топката е нула, от закона за скоростта при равнозакъснително движение имаме

$a_1 = \dfrac{v_0}{t_1} = 11\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

в) Движението нагоре става с ускорение $a_1 > g$ [0,5 т.], което означава, че трябва да се отчита и силата на съпротивление на въздуха $f$ [0,5 т.]. Тогава падането на топката ще става с ускорение $a_2 \neq g$ [0,5 т.]. Тъй като падането на топката е равноускорително движение без начална скорост, за времето $t_2$ имаме израза

$t_2 = \sqrt{\dfrac{2H}{a_2}}$. [1 т.]

От уравнението на Нютон за движение на топката следва

$ma_1 = mg + f$, [1 т.]

$ma_2 = mg - f$, [1 т.]

откъдето намираме

$a_2 = 2g - a_1 = 8{,}6\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

Тогава получаваме

$t_2 \approx 2{,}26\ \mathrm{s}$. [1 т.]

г) Търсената скорост е

$v = \sqrt{2Ha_2} \approx 19{,}5\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]

Забележка: Търсената скорост може да се намери и по формулата $v = a_2 t_2 \approx 19{,}4\ \mathrm{m/s}$. Разликата в числените стойности се дължи на използването на указаната приближена стойност на $t_2$, докато стойностите на $H$ и $a_2$ са точни. Ако при пресмятането на $v$ използваме междинната приближена стойност за $t_2 \approx 2{,}262\ \mathrm{s}$, резултатът не зависи от използваната формула.