НОФ 2015, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Метален пръстен в електрическа верига

• а) Двете дъги $R_1$ и $R_2 = 3R_1$ са свързани паралелно към източника (вж. фиг. 1 от решението).

• б) $P_{(1)} = \frac{3}{4}P_0 = 45\ \mathrm{W},\quad P_{(2)} = \frac{4}{3}P_0 = 80\ \mathrm{W}$

  Две стойности: при непроменено напрежение $45$ W, при непроменен общ ток $80$ W.

а) Еквивалентната схема на електрическата верига е показана на фиг. 1 [1 т.].

б) 1. Търсената мощност се дава с израза

$P = \dfrac{U^2}{r/2} = 2\dfrac{U^2}{r}$, [1 т.]

където $r$ е съпротивлението на половината от пръстена, а $U$ – напрежението на източника. Мощността на тока преди преместването на контактите е

$P_0 = \dfrac{U^2}{R}$, [1 т.]

където еквивалентното съпротивление

$R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{3}{4}R_1$, [1 т.]

тъй като $R_2 = 3R_1$ [1 т.]. От друга страна е в сила равенството $r = 2R_1$ [1 т.]. Тогава имаме

$P = \dfrac{U^2}{R_1} = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4U^2}{3R_1}\right) = \dfrac{3}{4}P_0 = 45\ \mathrm{W}$. [1 т.]

2. В този случай търсената мощност се дава с израза

$P = I^2(r/2) = \dfrac{1}{2}I^2 r$, [1 т.]

където $I$ е общият ток. От друга страна

$P_0 = I^2 R = \dfrac{3}{4}I^2 R_1$. [1 т.]

Като отчетем връзката $r = 2R_1$, намираме

$P = I^2 R_1 = \dfrac{4}{3}\left(\dfrac{3}{4}I^2 R_1\right) = \dfrac{4}{3}P_0 = 80\ \mathrm{W}$. [1 т.]