НОФ 2015, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Влак между две станции на метрото

• а) $v_m = \frac{s}{\dfrac{s}{v_{\mathrm{cp}}} - \dfrac{t_1+t_3}{2}} \approx 14\ \mathrm{m/s} \approx 50\ \mathrm{km/h}$

• б) $s_1 = \frac{v_m t_1}{2} \approx 70\ \mathrm{m},\quad s_3 = \frac{v_m t_3}{2} \approx 140\ \mathrm{m},\quad s_2 = s - s_1 - s_3 \approx 1590\ \mathrm{m}$

  Три стойности: $s_1 \approx 70$ m, $s_3 \approx 140$ m, $s_2 \approx 1590$ m.

• в) $a_1 = \frac{v_m}{t_1} \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s^2},\quad a_2 = \frac{v_m}{t_3} \approx 0{,}7\ \mathrm{m/s^2}$

  Две стойности: $a_1 \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s^2}$, $a_2 \approx 0{,}7\ \mathrm{m/s^2}$.

а) Максималната скорост $v_m$ на влака е скоростта му при равномерното движение [0,5 т.]. При равноускорителното движение той изминава разстояние $s_1 = v_m t_1 / 2$ [0,5 т.], при равномерното – $s_2 = v_m t_2$ [0,5 т.] и при равнозакъснителното – $s_3 = v_m t_3 / 2$ [0,5 т.]. Общото време на движение е $t = t_1 + t_2 + t_3$, откъдето намираме $t_2 = t - (t_1 + t_3)$. Тогава за пълния изминат път $s = s_1 + s_2 + s_3$ имаме израза

$s = v_m\left[t - (t_1 + t_3)/2\right]$, [0,5 т.]

откъдето при $t = s / v_{\mathrm{cp}}$ [0,5 т.] намираме

$v_m = \dfrac{s}{\dfrac{s}{v_{\mathrm{cp}}} - \dfrac{t_1 + t_3}{2}} \approx 14\ \mathrm{m/s} \approx 50\ \mathrm{km/h}$. [1 т.]

б) При равноускорителното движение изминатият път е

$s_1 = v_m t_1 / 2 \approx 70\ \mathrm{m}$, [1 т.]

при равнозакъснителното –

$s_3 = v_m t_3 / 2 \approx 140\ \mathrm{m}$, [1 т.]

при равномерното –

$s_2 = s - s_1 - s_3 \approx 1590\ \mathrm{m}$. [1 т.]

в) Като отчетем равенствата

$v_m = a_1 t_1 = a_2 t_3$, [1 т.]

намираме

$a_1 = \dfrac{v_m}{t_1} \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s^2}$, [1 т.]

$a_2 = \dfrac{v_m}{t_3} \approx 0{,}7\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]