НОФ 2015, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Цилиндър с течност

• а) $H = H_0 + \dfrac{m}{\pi R^2 \rho_{\mathrm{В}}}$
• б) $\dfrac{V_{\mathrm{В}}}{V_{\mathrm{К}}} = \dfrac{\rho_{\mathrm{К}}}{\rho_{\mathrm{В}}}$
• в) $\dfrac{V_{\mathrm{В}}}{V_{\mathrm{К}}} = \dfrac{\rho_{\mathrm{К}} - \rho_{\mathrm{О}}}{\rho_{\mathrm{В}} - \rho_{\mathrm{О}}}$
• г) $F_A = 4mg$

а) Понеже кълбото плува, имаме равновесие между Архимедовата сила и силата на тежестта $mg = \rho_{\mathrm{В}}V_{\mathrm{В}}g$ [1 т]. Така намираме обема на изместената вода $V_{\mathrm{В}} = m/\rho_{\mathrm{В}}$ [1 т]. Височината $H$ ще намерим от уравнението $V_{\mathrm{В}} = \pi R^2\left(H - H_0\right) = m/\rho_{\mathrm{В}} \Rightarrow H = H_0 + \dfrac{m}{\pi R^2 \rho_{\mathrm{В}}}$ [1 т].

б) Обемът на изместената вода има маса, равна на тази на кълбото $m$, т.е. $V_{\mathrm{В}} = m/\rho_{\mathrm{В}}$, а обемът на цялото кълбо е $V_{\mathrm{К}} = m/\rho_{\mathrm{К}}$ [1 т]. Така получаваме $V_{\mathrm{В}}/V_{\mathrm{К}} = \rho_{\mathrm{К}}/\rho_{\mathrm{В}}$ [1 т].

в) Част от тежестта на кълбото се поема от водата, а останалата част се поема от олиото. Подемната сила е сума от силите на Архимед от страна на водата $F_{A1}$ и на олиото $F_{A2}$. Така получаваме $F_{A1} + F_{A2} = G = mg$ [1 т]. Имаме $F_{A1} = V_{\mathrm{В}}\rho_{\mathrm{В}}$ [0.4 т] и $F_{A2} = V_{\mathrm{О}}\rho_{\mathrm{О}}$ [0.4 т]. Също така имаме $V_{\mathrm{В}} + V_{\mathrm{О}} = V_{\mathrm{К}}$ [0.2т]. Следователно $\dfrac{V_{\mathrm{В}}}{V_{\mathrm{К}}} = \dfrac{\rho_{\mathrm{К}} - \rho_{\mathrm{О}}}{\rho_{\mathrm{В}} - \rho_{\mathrm{О}}}$ [1 т].

г) Отново имаме равновесие между Архимедовата сила и силата на тежестта [1 т] $\Rightarrow F_A = 4mg$ [1 т].