НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 1. Трупчета на пружина

• А) $d = \frac{Mg}{k} + \frac{2m}{m+M}\sqrt{\frac{2Mgh}{k}}$
• Б) $N = Mg + kd = 2Mg + \frac{2m\sqrt{2kMgh}}{m+M}$
• В) $A = d - d_0 = d_1 = \frac{2m}{m+M}\sqrt{\frac{2Mgh}{k}}$
• Г) $h_{\mathrm{min}} = \frac{Mg(m+M)^2}{2km^2},\qquad u = g\sqrt{M/k}$

А) Големината на скоростта $v$, с която топчето удря горното трупче, се получава от закона за запазване на механичната енергия: $mgh = mv^2/2$ [0,5 т], т.е. $v = \sqrt{2gh}$. [0,5 т] Ударът между топчето и трупчето е идеално еластичен и, съответно, имаме запазване на кинетичната енергия и импулса преди и след удара: $\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{MV^2}{2} + \dfrac{mv'^2}{2}$ [0,5 т] и $mv = MV - mv'$ [1 т], където $V$ е големината на скоростта на трупчето след удара, а $v'$ е големината на скоростта на топчето след удара. От двете уравнения получаваме, че $V = \dfrac{2mv}{m+M}$. [1 т]

Максималното свиване на пружината е $d = d_0 + d_1$ [0,5 т], където $d_0 = Mg/k$ е свиването вследствие на силата на тежестта, която действа на горното трупче и отмества равновесното му положение надолу с $d_0 = Mg/k$ [0,5 т], а $d_1$ е допълнителното свиване, което следва от закона за запазване на механичната енергия: $\dfrac{kd_1^2}{2} = \dfrac{MV^2}{2}$ [0,5 т], откъдето $d_1 = V\sqrt{M/k}$. [0,5 т] В крайна сметка $d = \dfrac{Mg}{k} + \dfrac{2m}{m+M}\sqrt{\dfrac{2Mgh}{k}}$. [0,5 т]

Б) Максимална сила на натиск $N$ има при максимално свиване и тогава $N = Mg + kd = 2Mg + \dfrac{2m\sqrt{2kMgh}}{m+M}$. [2 т]

В) Амплитудата на хармоничните трептения е $A = d - d_0 = d_1 = \dfrac{2m}{m+M}\sqrt{\dfrac{2Mgh}{k}}$. [1 т]

Г) За да подскочи долното трупче, трябва при най-горно положение на горното трупче да действа еластична сила, равна на или по-голяма от силата на тежестта, която действа на долното трупче: $k(d_1 - d_0) \ge Mg$. [1 т] Така получаваме, че $\dfrac{2m\sqrt{2kMgh_{\mathrm{min}}}}{m+M} - Mg = Mg$ [1 т], откъдето $h_{\mathrm{min}} = \dfrac{Mg(m+M)^2}{2km^2}$. [0,5 т]

В момента на отлепяне на долното трупче от хоризонталната повърхност големината на скоростта на средата на пружината $u = V'/2$ [1 т], където $V'$ е големината на скоростта на горното трупче в този момент. От закона за запазване на енергията се получава, че $\dfrac{MV'^2}{2} = \dfrac{kd_1^2(h_{\mathrm{min}})}{2} = \dfrac{k}{2}\left(\dfrac{2Mg}{k}\right)^2 = \dfrac{2M^2g^2}{k}$. [2 т] Така получаваме, че $u = g\sqrt{M/k}$. [0,5 т]