Съдържание

НОФ 2015, III кръг (национален), 10–12 клас, втори ден — Задача 2. Търкалящ се цилиндър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА · Враца, 7 април 2015 г. · Тема за 10.–12. клас – II етап · 7 април 2015 г. · 7 т.

Внимание: Бележка към темата

Заглавната страница отпечатва „II етап“, докато каталогът сочи III кръг; отпечатаният текст е приет за меродавен.

Условие

Хоризонтална повърхност, върху която лежи цилиндър с радиус R и маса M, около него е навита нишка, минаваща през ръба на повърхността надолу до висяща теглилка с маса m; на цилиндъра е означен коефициент на триене k, разстоянието до ръба е обозначено с l, а стрелка отгоре показва посоката на земното ускорение g. — Фиг. 2

Около плътен еднороден цилиндър с радиус $R$ и маса $M$ , който е оставен да лежи върху хоризонтална повърхност, е навита безмасова неразтеглива нишка, която е прекарана през ръба на повърхността и е закачена за висяща теглилка с маса $m$ , както е показано на фиг. 2. Свободният край на нишката се намира под цилиндъра. Поради действието на силата на тежестта системата започва да се движи свободно, като цилиндърът едновременно се хлъзга по хоризонталната повърхност и се върти. Коефициентът на триене при хлъзгане между цилиндъра и повърхността е $k$ . Земното ускорение е $g$ .

А) Намерете ускорението $a$ , с което се движи теглилката. Определете линейното ускорение на цилиндъра $a'$ . Каква е максималната стойност на коефициента на триене $k_{max}$ , за да може да се движи системата от двете тела? [5 т.]

Б) Първоначално цилиндърът се намира на разстояние $l$ от ръба на хоризонталната повърхност. Намерете на каква височина $h$ ще се е спуснала теглилката, когато цилиндърът достигне ръба. Каква е големината на скоростта $v$ на теглилката в този момент? [2 т.]

Отговори

Решение

Повторение на фиг. 2 от условието: цилиндър с маса M и радиус R върху хоризонтална повърхност (означение k при допирната точка), хоризонтална нишка с дължина l до ръба на повърхността, откъдето нишката слиза вертикално до теглилка с маса m; стрелка g сочи надолу. — Фиг. 2

А) Уравнението за движение на теглилката е $mg - T = ma$ [0,5 т], където $T$ е силата на опън на нишката, а $a$ е ускорението на теглилката. Уравнението за постъпателно движение на цилиндъра е $T - kMg = Ma'$ [0,5 т], където $a'$ е транслационното ускорение на цилиндъра. За въртенето на цилиндъра около моментната му ос на въртене, която минава през неговата геометрична ос на симетрия, се изпълнява уравнението: $(T - kMg)R = I\varepsilon = I(a - a')/R$ . [1 т] От това уравнение следва, че $2(T - kMg) = M(a - a')$ . [0,5 т] Като се реши тази система от три уравнения спрямо трите неизвестни $a$ , $a'$ и $T$ , се получава, че $a = \dfrac{3g(m - kM)}{3m + M}$ и $a' = \dfrac{g(m - kM)}{3m + M}$ . [2 т] За да има движение, трябва ускоренията да са по-големи или равни на нула. Т.е. максималната стойност на коефициента на триене е $k_{\max} = \dfrac{m}{M}$ . [0,5 т]

б) Движенията на цилиндъра и теглилката са равноускорителни без начална скорост, откъдето следва, че $h = at^2/2$ и $l = a't^2/2$ . [0,5 т] Като разделим двете уравнения едно на друго, получаваме, че $h = al/a' = 3l$ . [0,5 т] Големината на скоростта на теглилката в този момент е $v = at = a\sqrt{2l/a'} = 3\sqrt{\dfrac{2gl(m - kM)}{3m + M}}$ . [1 т]

Оригинал в Архива: NOF3_2015_10-12problemsD2.pdf · официални решения: NOF3_2015_10-12solutionsD2.pdf