Съдържание

НОФ 2015, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Плаване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

Национална олимпиада по физика 2015, национален кръг, тема за 8. клас · 6 април 2015 г. · 10 т.

Условие

Лодка с плоско дъно – шлеп, се използва за превозване на товари по река (виж фигурата). Масата на празния шлеп (без товар) е M, а масата на товара е означена с m. Страничните стени на шлепа са вертикални.

Схема на шлеп във вода: товар m върху корпуса M, дълбочина на потапяне h, площ на дъното S и хоризонтална теглителна сила F. — Шлепът с маса $M$ и товар с маса $m$ , потопен на дълбочина $h$ ; площта на дъното е $S$ , а влекачът дърпа със сила $F$ .

Права линия от точка (0 t; 0,8 m) до (50 t; 1,8 m) в координати маса на товара в тонове и дълбочина на потапяне в метри. — Зависимост на дълбочината на потапяне $h$ (m) от масата на товара $m$ (t).

Шлепът няма собствен двигател и, за да се движи, се закача за специален кораб – влекач. Силата на съпротивление f, която действа на шлепа във водата се дава с израза:

f = khv^2

където $v$ е скоростта на шлепа, h – дълбочината му на потапяне, а $k = 400\ \mathrm{kg/m^2}$ е коефициент на пропорционалност.

Данни:

плътност на водата, $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$

земно ускорение, $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$

*Тонът (t) е единица за маса; 1 t = 1000 kg.

**Конската сила (к.с.) е единица за мощност; 1 к.с. = 750 W.

А) На графиката е показана зависимостта на дълбочината h, на която е потопен шлепът от масата m на поставения товар*. Като използвате данните от графиката, намерете масата M на празния шлеп и площта S на дъното му. [4,5 т.]

Б) С каква сила F влекачът трябва да дърпа шлепа, така че той да се движи с постоянна скорост $v = 5\ \mathrm{m/s}$ , ако масата на товара е $m = 25\ \mathrm{t}$ ? Колко конски сили** (к.с.) трябва да бъде мощността P на влекача, за да дърпа шлепа с тази скорост? [3,5 т.]

В) С каква скорост $v_1$ би се движил шлепът, когато не е натоварен, ако влекачът го дърпа със същата сила? [2 т.]

Отговори

Решение

А) От условието за плаване имаме:

(1)\qquad F_A = (M + m)g

[0,5 точки]

Архимедовата сила, която действа на шлепа, зависи от обема $V = Sh$ на потопената му част:

(2)\qquad F_A = \rho g S h

[1 точка]

Оттук намираме:

(3)\qquad h = \frac{(M+m)}{\rho S}.

[0,5 точки]

Когато шлепът не е натоварен ( $m = 0$ ), дълбочината му на потапяне е:

(4)\qquad h_0 = \frac{M}{\rho S} = 0{,}8\ \mathrm{m}

[0,5 точки]

Ако шлепът бъде натоварен с маса, равна на неговата собствена маса ( $m = M$ ), дълбочината му на потапяне ще бъде два пъти по-голяма, т.е. $h = 2h_0 = 1{,}6\ \mathrm{m}$ . От графиката отчитаме, че тази дълбочина на потапяне съответства на маса:

(5)\qquad M = m = 40\ \mathrm{t}\ (40\,000\ \mathrm{kg}).

[1 точка]

От уравнение (3) определяме площта на дъното:

(6)\qquad S = \frac{M}{\rho h_0} = \frac{40\,000\ \mathrm{kg}}{1000\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 0{,}8\ \mathrm{m}} = 50\ \mathrm{m^2}

[1 точка]

Б) От II принцип на Нютон следва, че при движението на шлепа:

(7)\qquad (M + m)a = F - f.

[1 точка]

Ако скоростта на шлепа е постоянна, неговото ускорение е нула. Следователно в този случай:

(8)\qquad F = f = khv^2.

[0,5 точки]

При маса на товара m = 25 t шлепът е потопен на дълбочина h = 1,3 m. Следователно големината на теглителната сила на влекача е:

(9)\qquad F = 400\ \mathrm{kg/m^2}\cdot 1{,}3\ \mathrm{m}\cdot (5\ \mathrm{m/s})^2 = 13\,000\ \mathrm{N}.

[1 точка]

За време t шлепът изминава път $s = vt$ , при което влекачът извършва работа $A = Fs = Fvt$ . Следователно мощността на влекача е:

(10)\qquad P = \frac{A}{t} = Fv = 13\,000\ \mathrm{N}\cdot 5\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 65\,000\ \mathrm{W} \approx 87\ \text{к.с.}

[1 точка]

В) Ако шлепът е празен, дълбочината му на потапяне е $h_1 = 0{,}8\ \mathrm{m}$ . В този случай от уравнение (8) при същата големина на силата F имаме:

(11)\qquad hv^2 = h_1 v_1^2.

[1 точка]

Оттук намираме скоростта на празния шлеп:

(12)\qquad v_1 = v\sqrt{\frac{h}{h_1}} = 5\ \mathrm{m/s}\cdot\sqrt{\frac{1{,}3}{0{,}8}} \approx 6{,}4\ \mathrm{m/s}.

[1 точка]

Оригинал в Архива: NOF3_2015_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2015_8solutions.pdf