Съдържание

НОФ 2015, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Електронен сноп

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2015

Национална олимпиада по физика 2015, национален кръг, тема за 9. клас · 6 април 2015 г. · 10 т.

Условие

Две еднакви успоредни метални пластинки образуват плосък кондензатор, който е поставен във вакуумна камера. Отношението на дължината $L$ на пластинките към разстоянието $d$ между тях е $\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{d}} = 10$ .

Фиг. 4. Електронният сноп между пластинките с дължина L.

Към средата на кондензатора, успоредно на пластинките (фиг. 4), е насочен тесен сноп от електрони. Скоростта на електроните е $v = 1{,}6.10^{7}\ \mathrm{m/s}$ . Взаимодействието между електроните от снопа и действието на силата на тежестта не се отчитат.

А) При какви стойности на напрежение $U$ върху кондензатора електронният сноп ще премине през кондензатора? [4 т.]

Б) Колко процента е максималното възможно нарастване $\Delta E_{\mathrm{к}}$ на кинетичната енергия на електроните след преминаване през кондензатора? [2 т.]

В) Всяка от пластините (електродите) на описания по-горе кондензатор има площ $S = 200\ \mathrm{cm^2}$ . Зарядът на кондензатора е $Q = 8.10^{-7}\ \mathrm{C}$ . Определете посоката и големината на индукцията $B$ на еднородното магнитно поле, което трябва да се създаде вътре в кондензатора, за да може снопът от електрони, движещи се със скорост $v = 1{,}6.10^{7}\ \mathrm{m/s}$ (фиг. 4), да премине през кондензатора, без да променя посоката си на движение. [4 т.]

Полезни данни:

Елементарен заряд $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; маса на електрона $m = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ , електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}85.10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ .

Решение

А) Електроните извършват едновременно две движения: равномерно движение по оста на кондензатора и равноускорително движение в перпендикулярно направление. За времето $t = \dfrac{L}{v}$ , … 0,5 точки

за което електроните преминават през кондензатора, те се отклоняват към положителния електрод на разстояние $y = \dfrac{at^2}{2}$ … 0,5 точки

Електроните ще преминат през кондензатора, ако $y < d/2$ … 0,5 точки

Ускорението на всеки електрон е $a = \dfrac{eE}{m}$ , … 0,5 точки

където $E$ е интензитетът на електричното поле в кондензатора.

Приемаме това поле за еднородно и, като използваме връзката $E = \dfrac{U}{d}$ , за ускорението получаваме $a = \dfrac{eU}{md}$ … 0,5 точки

След заместване на $a$ и $t$ в неравенството $y < d/2$ получаваме условието, при което електроните ще преминат през кондензатора:

$U < \dfrac{mv^2}{e}\left(\dfrac{d}{L}\right)^2$ … 1 точка; $U < 14{,}6\ \mathrm{V}$ … 0,5 точки

Б) При преминаване на електрон през кондензатора електричните сили извършват положителна работа $A = eEy = e\dfrac{U}{d}y$ и кинетичната енергия на електрона нараства с $\Delta E_\mathrm{k} = A = e\dfrac{U}{d}y$ … 1 точка

Това нарастване е максимално при най-голямата стойност на напрежението, при която електроните преминават през кондензатора, т.е. при $U = \dfrac{mv^2}{e}\left(\dfrac{d}{L}\right)^2$ . Тогава $y = d/2$ и

$\Delta E_{\mathrm{kmax}} = \dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{d}{L}\right)^2 = 0{,}01\dfrac{mv^2}{2}$ , т.е. кинетичната енергия нараства с 1 % … 1 точка

В) Магнитната индукция трябва да е насочена така, че магнитната сила $\vec{F}_{\mathrm{м}}$ да уравновесява електричната сила $\vec{F}_{\mathrm{e}}$ (вж. чертежа) … 0,5 точки

Електричната и магнитната сила, скоростта и посоката на магнитната индукция.

По правилото на дясната ръка определяме, че магнитната индукция е насочена навътре към чертежа, перпендикулярно на неговата равнина … 1 точка

От равенството $evB = eE$ определяме $B = \dfrac{E}{v} = \dfrac{U}{vd}$ … 0,5 точки

Като отчетем, че $U = \dfrac{Q}{C}$ … 0,5 точки

и $C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ (капацитет на плосък кондензатор), … 0,5 точки

за магнитната индукция получаваме $B = \dfrac{Q}{\varepsilon_0 Sv}$ … 0,5 точки; $B = 0{,}28\ \mathrm{T}$ … 0,5 точки

Оригинал в Архива: NOF3_2015_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2015_9solutions.pdf