НОФ 2016, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Механика

а) Разлагаме силата на тежестта на шейната на тангенциална (по направление на скоростта $V$) и нормална (по перпендикулярно на $V$ направление) компоненти. Тангенциалната компонента е $G_t = mg\sin\alpha$ [1 т.]. Тъй като шейната се движи праволинейно с постоянна скорост, силата на опън $T$ уравновесява тангенциалната компонента, т.е.

б) Еленът прилага такава сила, че да движи своята маса, както и масата на шейната, равномерно по наклонената равнина. Разстоянието $L$ по наклонената равнина съответства на издигане с височина $H = L\sin\alpha$ [1.5 т.]. Търсената работа е разлика в потенциалните енергии: $A = (m+M)gL\sin\alpha$. [1.5 т.]

в) Законът за движението на шейната е $x(t) = L + Vt - \dfrac{1}{2}g\sin\alpha\, t^2$ [1 т.], където $x$ е разстоянието между долния край на шейната и началото на наклонената равнина.

Времето $\tau$ е положителният корен на уравнението $L + V\tau - \dfrac{1}{2}g\sin\alpha\,\tau^2 = 0$ [0.5 т.]:

Скоростта намираме от закона за запазване на енергията. В момента на скъсването енергията е $E_1 = \dfrac{mV^2}{2} + mgL\sin\alpha$ [0.5 т.], а в момента $\tau$ е $E_2 = \dfrac{mV_2^2}{2}$ [0.5 т.]. От $\dfrac{mV^2}{2} + mgL\sin\alpha = \dfrac{mV_2^2}{2}$ [1 т.] намираме $V_2 = \sqrt{V^2 + 2gL\sin\alpha}$. [1 т.]