НОФ 2016, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Електричество

Част 1

От батерия с електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ и вътрешно съпротивление $r$ е подадено напрежение на $N$ на брой успоредно свързани крушки (фиг. 2 а). Всяка крушка има фиксирано съпротивление $R$, което не зависи от преминаващия през крушката ток. Намерете:

а) общата мощност на тези $N$ на брой крушки; [3 т.]

б) При каква стойност на $N$ тази мощност е максимална, ако $r = R/5$. [3 т.]

Упътване: изразът $x/(x+1)^2$ има максимална стойност при $x = 1$.

Част 2

в) На фиг. 2 б са изобразени два точкови заряда с големина $q$. Единият заряд е закрепен неподвижно в пространството, а другият се движи от външна сила в полето на първия по траектория, указана на фигурата. В началото подвижният заряд е в точка 1, след което той бива преместван последователно в точки 2, 3 и накрая се връща в точка 1. Участъкът 1-2 е отсечка с дължина $d$, 2-3 е част от окръжност с радиус $r$ и ъгъл $270^\circ$, а 3-1 е отново отсечка. Намерете работата, която извършва външната сила в трите участъка: 1-2, 2-3, 3-1, при условие, че външната сила движи заряда с постоянна по големина скорост. [4 т.]

Упътване: Потенциалната енергия на премествания заряд се дава с израза $W = kq^2/R$, където $R$ е разстоянието между зарядите.