НОФ 2016, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 1. Буксуваща гума

• а) $l = v_0 t = 2\omega R\sqrt{R/g}$

  където $v_0=\omega R$ и $t=2\sqrt{R/g}$

• б) $\sin\varphi = \frac{4\omega^2 R g}{4\omega^4 R^2 + g^2},\qquad \cos\varphi < 0$

  Точката е параметризирана с ъгъла $\varphi$ от фиг. 1; $\cos\varphi<0$, т.е. тя лежи наляво от т. A.

• в) $h_{\max} = R + \frac{v_0^2}{2g} + \frac{gR^2}{2v_0^2} = R + \frac{g}{2\omega^2} + \frac{\omega^2 R^2}{2g}$

а) Нека въведем Декартова координатна система, както е показано на фиг. 1. При отделянето на капка от повърхността на гумата тя има скорост с големина $v_0 = \omega R$ [0,5 т.], която съвпада с линейната скорост на съответната точка от повърхността на гумата, откъдето се отделя капката. Следователно скоростта е тангенциална към околната повърхнина и насочена по посока на въртенето на гумата. Капките, излитащи от т. A, са с уравнения на движение $x = v_0 t$ и $y = 2R - gt^2/2$. [0,5 т.] Капките падат на земята, когато $y = 2R - gt^2/2 = 0$. Това става при $t = 2\sqrt{R/g}$ и $l = v_0 t = 2\omega R\sqrt{R/g}$. [1 т.]

б) Нека да параметризираме точките от околната повърхнина на гумата с ъгъла $\varphi$, показан на фиг. 1. Скоростта $v_0$ сключва с хоризонта ъгъл $\alpha = \varphi - 90^{\circ}$. [1 т.] Уравненията за движение на произволна капка са: $x = R\cos\varphi + v_0 t\sin\varphi$ [1 т.] и $y = R(1+\sin\varphi) - v_0 t\cos\varphi - gt^2/2$. [1 т.] Следователно за да може капките да минат през т. B, трябва $x = R\cos\varphi + v_0 t\sin\varphi = R$ и $y = R(1+\sin\varphi) - v_0 t\cos\varphi - gt^2/2 = R$. [0,5 т.] Заместваме $t$ от първото уравнение във второто и получаваме, че търсената точка е със

[1 т.] В същото време се получава, че $\cos\varphi < 0$, т.е. точката лежи наляво от т. A на фиг. 1. [0,5 т.]

в) В най-високата точка от своята траектория капките имат нулева вертикална компонента на скоростта, т.е. $v_y = -v_0\cos\varphi - gt = 0$. [1 т.] Като заместим $t$ от това уравнение в уравнението за движение по $y$, получаваме

за произволна капка. [2 т.] Около максималната височина $h_{\max} = y_{\max}(\varphi_{\max h})$ винаги има две различни стойности на $\varphi$, за които $y_{\max}$ ще бъде едно и също. [1 т.] Тези стойности се получават като решение на квадратното уравнение

[2 т.] Единствено в максимума ще има една единствена стойност на $\varphi$ за фиксирано $y_{\max}$, т.е. уравнението ще има един двоен корен, което се реализира при нулиране на дискриминантата на квадратното уравнение, откъдето следва, че