НОФ 2016, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2. Определяне на показателя на пречупване на течности

• 9. 1.35

  Примерен резултат от официалното решение: $n_m = 1.35 \pm 0.04$ ($1.35 \pm 3\%$); стойността зависи от конкретната течност.

Експериментална задача 2: Примерно решение

1. Предложете метод за определяне на показателя на пречупване на течността ($n_m$), който се основава на сравнението на положенията на образите на двете игли. Единият образ е недействителният образ на игла потопена в течността, а другият е образът на втората игла в огледалото. Опишете последователността на провеждане на експеримента. (4 т.)

Описание на метода: от теоретичната част и указанията става ясно, че трябва да определим показателя на пречупване на течността като определим видимата и реалната дълбочина на която се намира предмет потопен в течността. За целта поставяме едната игла на дъното на чашата и пълним чашата с течността. С помощта на линията може да измерим реалната дълбочина, на която се намира иглата. За да измерим видимата дълбочина използваме огледалото и другата игла. Знаем, че разстоянието от образа на иглата до огледалото е равно на разстоянието от иглата до огледалото, а последното също може да бъде измерено пряко с линията. Ако променяме разстоянието между огледалото и втората игла, докато нейният образ съвпадне с образа на първата игла, лесно може да определим видимата дълбочина, на която се намира първата игла (виж Фигура 1). (2 т.)

Последователност на действията: поставяме игла 1 на дъното на чашата и наливаме от течността; с линията измерваме реалната дълбочина $h$ на която се намира игла 1; използваме стъклото като подложка за огледалото и го поставяме върху чашата (виж Фигура 1 и Фигура 2); забиваме игла 2 във филтъра закрепен на муфата и я поставяме над огледалото; ако е необходимо нагласяме чашата така, че образът на игла 1 в течността, този на игла 2 в огледалото и игла 2 да лежат в една равнина (така сме сигурни, че при всяко измерване наблюдаваме по нормалата към огледалото); започваме да движим муфата, докато видимото отместване на двата образа изчезне при наблюдение под малки ъгли спрямо нормалата към огледалото; когато двата образа съвпаднат измерваме разстоянието $d$ от долната повърхност на огледалото до игла 2; пресмятаме $h' = d - (D - h)$, където $D$ е разстоянието от игла 1 до долната повърхност на огледалото; повтаряме измерванията като всеки път доливаме от течността, така променяме дълбочината $h$, съответно и $h'$. (2 т.)

2. Направете схематично представяне (опростен чертеж) на експерименталната установка и означете всички величини, които ще са ви необходими за определяне на $n_m$ в предложения от вас метод. (1.4 т.)

Експерименталната установка е представена схематично на Фигура 1 и Фигура 2. (1 т.)

При нормално наблюдение, т.е. $\theta = \varphi = 0^{\circ}$, зависимостта (1) може да се запише като

така величините необходими за определянето на $n_m$ са

• $h$ дълбочината на която се намира игла 1; (0.1 т.)
• $D$ разстоянието от игла 1 до долната повърхност на огледалото; (0.1 т.)
• $d$ разстоянието от игла 2 до долната повърхност на огледалото; (0.1 т.)
• $h' = d - (D - h)$ дълбочината, на която се намира образ 1. (0.1 т.)

3. Представете зависимостта (1) с подходящи променливи, така че да получите линейна зависимост от вида $y = ax\ (a = \mathrm{const})$, от която да може да се определи $n_m$. (1 т.)

При $\theta = \varphi = 0^{\circ}$ получаваме следната линейна зависимост

(1 т.)

от която може да се определи наклона $\dfrac{1}{n_m}$, съответно и $n_m$.

4. Направете необходимите измервания и представете данните таблично (използвайте предоставения лист за таблицата). (4 т.)

$D = 17.6\ \mathrm{cm}$, $h' = d - (D - h)$ (0.75 т.)

при отбелязани мерни единици (0.25 т.); под 5 измервания (1.5 т.); над 7 измервания (3 т.)

5. Оценете абсолютната грешка на измерените величини в задача 4. (0.5 т)

$\Delta D = 0.5\ \mathrm{mm}$; $\Delta h = 0.5\ \mathrm{mm}$; $\Delta d = 0.5\ \mathrm{mm}$; (0.25 т.)

$\Delta h' = \Delta d + \Delta D + \Delta h = 1.5\ \mathrm{mm}$. (0.25 т.)

6. Използвайте експерименталните данни от задача 4 и представете зависимостта от задача 3 графично. (4.5 т.)

Точки за графиката се дават ако

• използвана е цялата площ на листа милиметрова хартия; (1.5 т.)
• по осите на графиката са означени съответните величини; (1 т.)
• отбелязани са мерните единици на величините; (0.25 т.)
• нанесени са всички точки от таблицата в задача 4; (1.25 т.)
• зависимостта е от вида $y = ax$ и построената права задължително трябва да минава през точката с координати $(0.0, 0.0)$. (0.5 т.)

7. Пресметнете $n_m$, като преди това определите коефициента на линейната зависимост от задача 3 (наклона на правата от задача 6). (2 т.)

Наклонът на графиката $\dfrac{1}{n_m}$ може да се определи графично, като изберем две точки от правата прекарана през експерименталните данни, например т. $A$ с координати $(0.0, 0.0)$ и т. $B$ с координати $(15.7, 11.6)$. Тогава за $\dfrac{1}{n_m}$ можем да запишем

(1.5 т.)

от където за показателя на пречупване получаваме

(0.5 т.)

Наклонът на графиката може да се определи и по формулата $\dfrac{1}{\bar n_m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} h_i h_i'}{\sum_{i=1}^{n} h_i^{2}}$.

8. Оценете абсолютната и относителната грешка на $n_m$. (1.6 т.)

Ако използваме, че $\bar n_m = \dfrac{B_x - A_x}{B_y - A_y}$, то максималната относителна грешка на $\bar n_m$ е

(1 т.)

където $\Delta (B_x - A_x) = \Delta B_x + \Delta A_x = (0.05 + 0.05)\ \mathrm{cm} = 0.1\ \mathrm{cm}$ и $B_x - A_x = 15.7\ \mathrm{cm}$, (0.2 т.)

а $\Delta (B_y - A_y) = \Delta B_y + \Delta A_y = (0.15 + 0.15)\ \mathrm{cm} = 0.3\ \mathrm{cm}$ и $B_y - A_y = 11.6\ \mathrm{cm}$. (0.2 т.)

Така получаваме, че $\dfrac{\Delta n_m}{\bar n_m} = \dfrac{0.1}{15.7} + \dfrac{0.3}{11.6} = 3\%$, а $\Delta n_m = 0.04$ (0.2 т.)

Абсолютната грешка $\Delta n_m$ може да се оцени и графично, като през експерименталните точки се прекарат още две прави, от където да се определят максималния и минималния наклон, съответно да се пресметнат $n_m^{\min}$ и $n_m^{\max}$, тогава

9. Представете крайния резултат за $n_m$, като отчитате пресметнатите грешки. (1 т.)

$n_m = \bar n_m \pm \Delta n_m$, $n_m = 1.35 \pm 0.04$ (0.5 т.)

$n_m = \bar n_m \pm r$, $n_m = 1.35 \pm 3\%$ (0.5 т.)