Съдържание

НОФ 2016, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Монета в кубче лед

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2016

Национална олимпиада по физика 2016, национален кръг, тема за 9. клас · 5 април 2016 г. · 10 т.

Условие

Висок стъклен цилиндър е пълен донякъде с вода. Поставяме в празна формичка за лед монета с маса $m_{\mathrm{М}} = 2,0$ g и я заливаме с вода, която после заледяваме, така че монетата да остане вътре в кубчето лед.

а) Колко е масата $m_{\min}$ на най-малкото количество вода, от която като направим кубче лед с монетата вътре, то все още да плава във водата? Плътността на водата е $\rho_{\mathrm{В}} = 1,0$ g/cm $^3$ , плътността на леда е $\rho_{\mathrm{Л}} = 0,9$ g/cm $^3$ , а плътността на монетата е $\rho_{\mathrm{М}} = 8,0$ g/cm $^3$ . [4 т.]

б) Нека направим кубче лед като използваме вода с маса $m_{\mathrm{В}} = 18,0$ g. Пускаме кубчето в стъкления цилиндър и то плава на повърхността на водата. На каква височина $H$ ще се повдигне нивото на водата след пускането на кубчето лед? Вътрешното сечение на цилиндъра е $S = 10,0$ cm $^2$ . [2 т.]

в) Опишете какво ще се случва с положението на кубчето лед и монетата, докато то се стопи напълно. [2 т.]

г) С колко милиметра ( $h$ = ?) ще се промени нивото на водата (нагоре или надолу?) в цилиндъра след пълното стапяне на кубчето в сравнение с момента време, непосредствено след като сме го пуснали във водата? [2 т.]

Отговори

Решение

а) За да плава, тялото трябва да е в равновесие и силата на тежестта $G$ да е равна на изтласкващата сила $F_{\mathrm{Арх}}$ . Когато тялото плава, то е потопено частично. Тогава изтласкващата сила $F_{\mathrm{Арх}}$ , която ще му действа, ще е по-малка от максималната изтласкваща сила $F_{\max}$ , която ще му действа, ако то се потопи напълно: [0.5 т.] $G = F_{\mathrm{Арх}} \leq F_{max}$ , [0.5 т.] $(m_{\mathrm{М}} + m_{\mathrm{Л}})g \leq \rho_{\mathrm{В}}(V_{\mathrm{М}} + V_{\mathrm{Л}})g = \rho_{\mathrm{В}}\left(\frac{m_{\mathrm{М}}}{\rho_{\mathrm{М}}} + \frac{m_{\mathrm{Л}}}{\rho_{\mathrm{Л}}}\right)g$ . [1 т.] След съкращаване на земното ускорение $g$ и преобразувания се получава $m_{\mathrm{Л}} \geq m_{\mathrm{М}}\dfrac{1-\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{М}}}}{\frac{\rho_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{Л}}}-1}$ [1 т.] или $m_{min} = 2,0\ \mathrm{g}.\dfrac{1-\frac{1,0}{8,0}}{\frac{1,0}{0.9}-1} = 15,75\ \mathrm{g}$ [1 т.]

б) Нивото на водата в цилиндъра е такова, че все едно сме доляли вода с маса, равна на масата на кубчето (изместеният (допълнителен) обем вода $V_{\mathrm{В}}$ има маса, равна на тази на кубчето). [0.5 т.] Следователно нивото ще се повдигне на височина $H = \frac{V_{\mathrm{В}}}{S} = \frac{m_{\mathrm{М}}+m_{\mathrm{В}}}{S\rho_{\mathrm{В}}}$ [0.5 т.] $= \frac{2\mathrm{g}+18\mathrm{g}}{10\mathrm{cm}^2.1,0\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}} = 2,0\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

в) Кубчето ще плава, докато масата на леда намалее от 18 g на 15,75 g. [1 т.] След това ще потъне на дъното на цилиндъра и там ще продължи да се топи. [0.5 т.] Когато се стопи всичкият лед, монетата ще остане на дъното. [0.5 т.]

г) Нивото на водата ще се промени заради разликата в обемите на изместената от кубчето лед вода $V_{\mathrm{В}}$ и сумата на обемите на монетата и водата, получена от стопения лед, $V_{\mathrm{М}} + V_{\mathrm{С}}$ . [0.5 т.] $h = \frac{(V_{\mathrm{М}}+V_{\mathrm{С}})-V_{\mathrm{В}}}{S} = \dfrac{\frac{m_{\mathrm{М}}}{\rho_{\mathrm{М}}}+\frac{m_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{В}}}-\frac{m_{\mathrm{М}}+m_{\mathrm{В}}}{\rho_{\mathrm{В}}}}{S} = \frac{m_{\mathrm{М}}}{S}\left(\dfrac{1-\frac{\rho_{\mathrm{М}}}{\rho_{\mathrm{В}}}}{\rho_{\mathrm{М}}}\right)$ [0.5 т.] $= \frac{2\mathrm{g}}{10\ \mathrm{cm}^2}\left(\dfrac{1-\frac{8,0\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}}{1,0\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}}}{8,0\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}}\right) = -\,0,175\ \mathrm{cm} = -\,1,75\ \mathrm{mm}$ (нивото ще падне) [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2016_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2016_9solutions.pdf