НОФ 2017, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Електростатика

• а) $F_{\text{дл}} = \frac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2} + \frac{kq^2}{2\ell^2},\qquad F_{\text{дд}} = \frac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2} + \frac{kQ^2}{2\ell^2}$
• б) $\varphi = \frac{2\sqrt{2}kQ}{\ell} + \frac{2\sqrt{2}kq}{\ell} = \frac{2\sqrt{2}k(Q+q)}{\ell}$
• в) $T = F_{\text{дд}} - F_{\text{дл}} = \frac{k(Q^2-q^2)}{2\ell^2}$

а) Сумарната електрична сила, която действа на едно от топчетата, е векторна сума от силите, с които му действат зарядите на останалите три топчета. Силите са означени на фигурата вляво. Електричните сили, които действат на долното ляво топче, са с големини: $F_1 = F_2 = \frac{kqQ}{\ell^2}$ и $F_3 = \frac{kq^2}{2\ell^2}$, [1 т.] като сме изразили дължината на диагонала на квадрата чрез дължината на страните. Поради симетрията векторната сума на силите $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ е насочена по диагонала на квадрата. Тъй като $F_1 = F_2$, големината на сумата $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ е равна на $\sqrt{2}F_1$. За големината $F_{\text{дл}}$ на резултантната електрична сила, която действа на долното ляво топче, се получава: $F_{\text{дл}} = \sqrt{2}F_1 + F_3 = \frac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2} + \frac{kq^2}{2\ell^2}$. [1 т.] По аналогичен начин, на долното дясно топче действат електрични сили с големини $F_1 = F_2 = \frac{kqQ}{\ell^2}$ и $F_4 = \frac{kQ^2}{2\ell^2}$. [1 т.] Големината $F_{\text{дд}}$ на резултантната електрична сила, която действа на долното дясно топче, е: $F_{\text{дд}} = \sqrt{2}F_1 + F_4 = \frac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2} + \frac{kQ^2}{2\ell^2}$. [1 т.]

б) Потенциалът в средата на квадрата е алгебрична сума от потенциалите, които създават зарядите на четирите топчета в тази точка: $\varphi = \frac{2\sqrt{2}kQ}{\ell} + \frac{2\sqrt{2}kq}{\ell} = \frac{2\sqrt{2}k(Q+q)}{\ell}$. [2 т.]

в) Системата е симетрична спрямо двата диагонала на квадрата. [0,5 т.] Търсената сила на опън означаваме с $T$. Силата на опън на останалите четири нишки по страните на квадрата е с една и съща големина $T'$. [0,5 т.] От условието за равновесие на системата следват две независими уравнения, които свързват големините на силите на опън с големините на кулоновите сили, които действат на топчетата. Освен електричните сили, на долното ляво топче действат две перпендикулярни сили на опън с големина $T'$, както е показано на фигурата. Тяхната геометрична сума е вектор, насочен по диагонала на квадрата, с големина $\sqrt{2}T'$, което може да се получи, като се използва питагоровата теорема. [0,5 т.] От условието за равновесие на долното ляво топче имаме, че $F_{\text{дл}} = \frac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2} + \frac{kq^2}{2\ell^2} = \sqrt{2}T'$. [0,5 т.] Аналогично, освен електричните сили, на долното дясно топче действа силата на опън на диагоналната нишка с големина $T$ и две сили на опън с големина $T'$, които са взаимно перпендикулярни, както е показано на фигурата. [0,5 т.] От условието за равновесие на долното дясно топче следва, че $F_{\text{дд}} = \frac{\sqrt{2}kqQ}{\ell^2} + \frac{kQ^2}{2\ell^2} = T + \sqrt{2}T'$. [0,5 т.] Като извадим двете уравнения, които дават условията за равновесие на топчетата, едно от друго, за да изключим $T'$, ще получим: $T = F_{\text{дд}} - F_{\text{дл}} = \frac{k(Q^2-q^2)}{2\ell^2}$. [1 т.]