Съдържание

НОФ 2017, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 3. Преминаване на лъч през пластинки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, областен кръг, четвърта състезателна група (X-XII клас) · 19 февруари 2017 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Заглавната страница на PDF-а с условията гласи „за общинския кръг“, но темата е от областния кръг (19 февруари 2017 г.) — потвърдено от заглавието на PDF-а с решенията („Олимпиада по физика, Областен кръг, 19 февруари 2017 г.“) и от отделната тема за общинския кръг за същата състезателна група от 22 януари 2017 г.

Условие

Полезна математика:

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha.\cos\beta \pm \cos\alpha.\sin\beta

$\varphi$ , deg	$\sin\varphi$
20	0,3420
40	0,6428
60	0,8660
80	0,9848

Три тънки пластинки, разположени ветрилообразно под 20° една спрямо друга, с падащ хоризонтален лъч и отместване D. — Ветрилообразно разположените пластинки с дебелина $h$ (нарисувани са само първите 3), ъгъл $20°$ между съседните, падащият перпендикулярно лъч и отместването $D$ на напусналия системата лъч.

а) Лъч пада върху плоскопаралелна пластинка с дебелина h и показател на пречупване n. Ъгълът на падане е $\alpha$ . Преминалият след две пречупвания през пластинката лъч е успореден на падащия и отместен спрямо него на разстояние d. Получете формула за отместването d, която да съдържа само n, h и $\sin\alpha$ . Приемете, че от двете страни на пластинката средата (въздух) има показател на пречупване n $_0$ = 1. [4 т.]

б) Оптична система се състои от 10 пластинки, които са разположени ветрилообразно (виж фигурата, нарисувани са само първите 3 пластинки!), като всяка една сключва със съседните си един и същ ъгъл $\beta = 20°$ . Пластинките са тънки, с дебелина h, показател на пречупване n и много голяма дължина L, ( $L \gg h$ ). Лъч пада перпендикулярно на първата и преминава общо през k от тях преди да напусне системата от пластинки. Колко е числото k? [1 т.]

в) Напусналият системата лъч, след преминаване през k пластинки, е успореден на идващия към нея, но е отместен на разстояние D. Изчислете D в mm, ако h = 1,00 mm и n = 1,50. [3 т.]

г) Освен лъчът, преминал системата след преминаване през k пластинки, има и няколко лъчи, получени след последователни преминавания и отражения. Проследете пътя на лъча, който се отразява последователно от втората и първата пластинка, оставайки във въздушния клин между тях. Общо колко отражения m ще претърпи от тези две пластинки лъчът, преди да напусне системата? [2 т.]

Отговори

Решение

а) От правоъгълния $\triangle$ ACD следва, че $\frac{d}{x} = \sin(\alpha - \gamma)$ . (3.1) [0,4 т.] От правоъгълния $\triangle$ ABC следва, че $\frac{h}{x} = \cos\gamma$ . (3.2) [0,4 т.] Разделяйки (3.1) на (3.2), се получава $\frac{d}{h} = \frac{\sin(\alpha-\gamma)}{\cos\gamma}$ . (3.3) [0,3 т.] (3.3) може да се преобразува (използвайки дадената в условието тригонометрична формула) до $\frac{d}{h} = \frac{\sin\alpha.\cos\gamma - \cos\alpha\sin\gamma}{\cos\gamma} = \sin\alpha - \frac{\cos\alpha\sin\gamma}{\cos\gamma}$ . (3.4) [0,4 т.] От закона на Снелиус следва, че $\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = n$ (3.5). [1 т.] Замествайки (3.5) в (3.4), се получава

Геометрична схема на пречупването в плоскопаралелна пластинка с означени ъгли α, γ, α−γ и отсечки h, x, d. — Ход на лъча през плоскопаралелна пластинка с дебелина $h$ и показател $n$ : ъгъл на падане $\alpha$ , ъгъл на пречупване $\gamma$ , точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и отместване $d$ .

\frac{d}{h} = \sin\alpha - \frac{\sqrt{1-(\sin\alpha)^2}\,\frac{\sin\alpha}{n}}{\sqrt{1-\left(\frac{\sin\alpha}{n}\right)^2}}.

След преобразования,

d = h\sin\alpha\left(1 - \sqrt{\frac{1-(\sin\alpha)^2}{n^2-(\sin\alpha)^2}}\right). \quad (3.6)

[1,5 т.]

б) Лъчът, пречупвайки се, остава винаги в горната половина на системата. Следователно лъчът ще премине само през тези пластинки, които са в горната половина на системата, т.е. тези, които сключват ъгъл с вертикалата между 0 и 90°. [0,2 т.] Първата е вертикална, втората сключва ъгъл 20°, третата - 40°, четвъртата - 60°, петата - 80°, а шестата лежи в долната половина на системата (сключва ъгъл 100°) и лъчът никога няма да я достигне. [0,3 т.] Следователно числото k = 5. [0,5 т.]

в) Отместването на лъча при преминяване през всяка една от първите 5 пластинки се изчислява, използвайки вече получената формула (3.6). Получените стойности са дадени в таблицата (за всяка вярно получена стойност (без нулата) по [0,5 т.]). Сумарното отместване $D \approx 1{,}75$ mm [1 т.]

Номер (i) на пластинката	Ъгъл на падане, °	$d_i$ , mm
1	0	0
2	20	0,1220 [0,5 т.]
3	40	0,2795 [0,5 т.]
4	60	0,5125 [0,5 т.]
5	80	0,8337 [0,5 т.]

г) При първото си падане върху втората пластинка лъчът пада под ъгъл 20°. [0,4 т.] Връщайки се към първата пластинка, пада върху нея под ъгъл 40°. [0,4 т.] Падайки за втори път върху втората пластинка, лъчът пада под ъгъл 60°. [0,4 т.] Падайки за втори път върху първата пластинка, лъчът пада под ъгъл 80°. [0,4 т.] Отразеният лъч повече няма да падне върху втората пластинка, защото се отдалечава от нея. Следователно общият брой отражения m, които ще претърпи от тези две пластинки лъчът, преди да напусне системата, е 4. [0,4 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2017_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2017_10-12solutions.pdf