Съдържание

НОФ 2017, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Коктейл от движения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, областен кръг, четвърта състезателна група (X-XII клас) · 19 февруари 2017 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Заглавната страница на PDF-а с условията гласи „за общинския кръг“, но темата е от областния кръг (19 февруари 2017 г.) — потвърдено от заглавието на PDF-а с решенията („Олимпиада по физика, Областен кръг, 19 февруари 2017 г.“) и от отделната тема за общинския кръг за същата състезателна група от 22 януари 2017 г.

Условие

Малко тяло е пуснато да се хлъзга без начална скорост от височина $h = 0{,}2\ \mathrm{m}$ по наклонен улей AB с форма на дъга от окръжност с радиус R = 1 m, както е показано на фиг. 1. В най-ниската си част улеят преминава в хоризонтална равнина BC с дължина $L = 2\ \mathrm{m}$ . Можете да приемете, че при движението си от точка $A$ до точка $C$ тялото се хлъзга без триене. След точка $C$ тялото попада на хоризонтален грапав участък, където спира поради действащата му сила на триене на разстояние $s = 0{,}5\ \mathrm{m}$ от точка C. Приемете, че $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Пресметнете максималната скорост $v_m$ , която тялото достига по време на движението си. [2 т.]

б) Колко е коефицциентът на триене $k$ между тялото и грапавия участък? [3 т.]

в) Колко време $t$ продължава движението на тялото? [5 т.]

Профил на улея: наклонена дъга от A до B, хоризонтален участък BC и грапав участък след C. — Фиг. 1 — тялото в точка $A$ на височина $h$ , дъговидният улей $AB$ с радиус $R$ , гладкият хоризонтален участък $BC$ с дължина $L$ и грапавият участък след $C$ , върху който тялото спира на разстояние $s$ .

Отговори

Решение

а) Тялото достига максималната си скорост в точка $B$ [0,5 т.]. Понеже при движението му по улея, на тялото не действа сила на триене, можем да приложим закона за запазване на механичната енергия:

mgh = \frac{mv_m^2}{2},

[0,5 т.]

откъдето намираме:

v_m = \sqrt{2gh} = 2\ \mathrm{m/s}.

[1,0 т.]

б) Понеже в участъка $BC$ няма триене, тялото достига точка $C$ със скорост $v_m$ . Можем да определим силата f на триене между тялото и грапавия участък по два алтернативни начина (точки се дават само за едното от решенията).

Вариант I. Енергетичен подход

За грапавия участък можем да приложим връзката:

\Delta E_k = A,

[0,5 т.]

където $A$ е работата на силата на триене, а $\Delta E_k$ е промяната на кинетичната енергия на тялото. Силата f на триене действа в посока, противоположна на посоката на движение и върши отрицателна работа:

A = -fs

[0,5 т.]

Промяната на кинетичната енергия е:

\Delta E_k = 0 - \frac{mv_m^2}{2} = -mgh

[0,5 т.]

Така намираме:

f = \frac{mgh}{s}

[0,5 т.]

Вариант II. Динамичен подход

Понеже в участъка $BC$ няма триене, тялото достига точка $C$ със скорост $v_m$ . Върху грапавия участък тялото се движи равнозакъснително, докато спре. От връзките:

s = v_mt - at^2/2

[0,5 т.]

0 = v_m - at

[0,5 т.]

определяме ускорението на равнозакъснителното движение:

a = \frac{v_m^2}{2s} = \frac{gh}{s}

[0,5 т.]

Върху грапавия участък на тялото действа в хоризонтална посока единствено силата f на триене. От втория принип на механиката следва:

f = ma = \frac{mgh}{s}

[0,5 т.]

След като сме определили силата на триене (вариант I или вариант II), намираме коефииента на триене:

k = \frac{f}{mg} = \frac{h}{s} = 0{,}4

[1,0 т.]

в) Общото време на движение може да се представи като: $t = t_1 + t_2 + t_3$ , където $t_1$ е времето за спускане по наклонения участък $AB$ , $t_2$ е времето за движение по гладкия участък $BC$ и $t_3$ е времето за спиране по грапавия участък.

По гладкия участък $BC$ тялото се движи равномерно, защото не му действа триене. Следователно:

t_2 = \frac{L}{v_m} = 1\ \mathrm{s}

[1,0 т.]

По грапавия участък тялото се движи равнозакъснително с начална скорост $v_m$ и с ускорение $a = f/m = gh/s$ . Следователно времето за спиране е:

t_3 = \frac{v_m}{a} = s\sqrt{\frac{2}{gh}} = 0{,}5\ \mathrm{s}

[1,0 т.]

По участъка $AB$ движението на тялото е еквивалентно на движение на математично махало с дължина R. [1,0 т.]

Времето за движение е една четвърт от периода на трептене:

t_1 = \frac{T}{4}

[0,5 т.]

Като вземем предвид, че:

T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}

[0,5 т.]

намираме:

t_1 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}} \approx 0{,}5\ \mathrm{s}

[0,5 т.]

Следователно общото време за движение е:

t = 0{,}5\ \mathrm{s} + 1\ \mathrm{s} + 0{,}5\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2017_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2017_10-12solutions.pdf