Съдържание

Условие Част 1. С шнорхел под водата (4 т.)Част 2. На чай с Мирилайлай (6 т.)Решение

НОФ 2017, III кръг (национален), 7. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема за 7. клас · 11 април 2017 г. · 10 т.

Решения и указания

Във всяка задача за еднократно сгрешен числен отговор се отнемат 0,25 т.

Условие

Двете части на задачата са независими!

Част 1. С шнорхел под водата (4 т.)

Когато човек вдишва, гръдните мускули разширяват гръдния кош и позволяват белите дробове да се изпълнят с въздух; когато мускулите се отпуснат – дробовете се изпразват почти напълно. Налягането на въздуха в белите дробове е равно на атмосферното налягане $p_{atm}$ . Гръдните мускули не са много силни и могат да разширяват гръдния кош срещу разлика в налягането най-много до 7% от атмосферното налягане. Определете до каква максимална дълбочина $h_{max}$ може да се гмурне човек в морето, ако иска да диша през шнорхел.

Приемете, че във всички случаи плътността на водата е $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ , атмосферното налягане на морското равнище е $p_{atm} = 1\cdot 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ , а земното ускорението е $g = 10\ \mathrm{N/kg}$ .

Част 2. На чай с Мирилайлай (6 т.)

Магьосникът Мирилайлай бил поканен на чай от 17:00 часа при брат си Нирилайлай. Магьосникът взел подарък и тръгнал, като се движел с постоянна скорост $v_1$ пресметната така, че да пристигне точно навреме за чая. Целият път на Мирилайлай минавал покрай река, чието течение било със скорост $v_0$ в обратната посока. Някъде по пътя Мирилайлай се загледал в една пеперуда и без да забележи изтървал подаръка във водата. Течението на реката понесло подаръка. Някое време по-късно Мирилайлай забелязал, че подаръкът го няма. Той се обърнал и със скорост $v_2$ догонил подаръка, който бил носен от реката в продължение на време $t_0 = 12\ \mathrm{min}$ . Магьосникът го взел, обърнал се и продължил със същата скорост $v_2$ към къщата на брат си, където пристигнал точно навреме за чая. В колко часа Мирилайлай е изпуснал подаръка в реката, ако е известно, че $v_1/v_0 = 3$ и $v_2/v_0 = 5$ ?

Решение

Част 1.

Когато човек е на сушата, налягането в белите му дробове е равно на атмосферното налягане. Когато човек е във водата и диша през шнорхел, налягането в белите му дробове отново е равно на атмосферното, но към него се добавя хидростатичното налягане на водата на съответната дълбочина.

За да може гмурецът да вдиша през шнорхела е необходимо разликата в налягането от двете страни на гръдните мускули да не надвишава 7% от $p_{atm}$ . По време на вдишването, налягането в белия дроб е $p_{atm}$ , а налягането около гмуреца е $p = p_{atm} + p_h$ . [1 т]

Тук $p_h = \rho g h$ е хидростатичното налягане на водата на дълбочина $h$ . [1 т]

Следователно разликата в налягането е $p_{h,max} = \rho g h_{max} = 0{,}07\,p_{atm}$ , откъдето намираме $h_{max} = \dfrac{0{,}07\,p_{atm}}{\rho g} \approx 0{,}7\ \mathrm{m}$ . [2 т]

Част 2.

Пътят на подаръка и магьосника с всички означени разстояния.

Означенията за разстоянията, които се използват в решението, са нанесени върху горната диаграма. Те имат следното значение:

$L$ – разстоянието от къщата до мястото, където Мирилайлай забелязва липсата на подаръка;

$S$ – разстоянието между мястото на изтърване и мястото на забелязване на липсата;

$x$ – разстоянието, което подаръкът изминава преди Мирилайлай да забележи;

$y$ – разстоянието, което подаръкът изминава от момента на забелязване до момента на вземане.

Мирилайлай е изпуснал подаръка $(S+L)/v_1$ преди 17:00 часа. Следователно, достатъчно е да намерим само $t = (S+L)/v_1$ . [0,5 т]

(1) От условието, че е пристигнал навреме за чая, имаме $\dfrac{L}{v_1} = \dfrac{2(S+x+y)+L}{v_2}$ . [0,5 т]

(2) За едно и също време магьосникът изминава $S$ , а подаръкът – $x$ , т.е. $\dfrac{S}{v_1} = \dfrac{x}{v_0}$ . [0,5 т]

(3) От момента на забързване до момента на вземане магьосникът изминава път $S+x+y$ , а за същото време подаръкът изминава път $y$ , т.е. $\dfrac{S+x+y}{v_2} = \dfrac{y}{v_0}$ . [0,5 т]

Събираме почленно (1) и (2) и прегрупираме събираемите:

\frac{L+S}{v_1} = \frac{(S+L)+(x+y)}{v_2} + \frac{(S+x+y)}{v_2} + \frac{x}{v_0}.

[1 т]

От (3) заместваме $\dfrac{S+x+y}{v_2} = \dfrac{y}{v_0}$ в горното уравнение и получаваме:

\frac{S+L}{v_1} = \frac{(S+L)+(x+y)}{v_2} + \frac{y}{v_0} + \frac{x}{v_0}.

[1 т]

След това прегрупираме събираемите от двете страни на равенството:

(S+L)\left(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_2}\right) = (x+y)\left(\frac{1}{v_0}+\frac{1}{v_2}\right),

и привеждаме под общ знаменател:

(S+L)\frac{(v_2-v_1)}{v_1v_2} = (x+y)\frac{(v_0+v_2)}{v_0v_2},

откъдето можем да отделим търсеното време $t = (S+L)/v_1$ , известното време $t_0 = (x+y)/v_0$ , като същевременно заместим с известните ни съотношения за скоростите $v_1/v_2 = a/b$ и $v_2/v_0 = b$ .

\frac{(S+L)}{v_1}\frac{(v_2-v_1)}{v_2} = \frac{(x+y)}{v_0}\frac{(v_0+v_2)}{v_2}\quad\text{или опростено}\quad t\left(1-\frac{v_1}{v_2}\right) = t_0\left(1+\frac{v_0}{v_2}\right).

Търсеното време е $t = t_0\dfrac{b+1}{b-a}$ или $t = 12\dfrac{5+1}{5-3}\ \mathrm{min} = 36\ \mathrm{min}$ . [2 т]

Мирилайлай е изтървал подаръка в 16:24 часа.

Оригинал в Архива: NOF3_2017_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_7solutions.pdf