Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 7. клас — Задача 3. Пук-пук-пуканки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема за 7. клас · 11 април 2017 г. · 10 т.

Решения и указания

Във всяка задача за еднократно сгрешен числен отговор се отнемат 0,25 т.

Условие

Всички знаят как се приготвят пуканки в микровълнова фурна. Царевичните зърна са поставени в плътно запечатана и сплескана книжна торбичка. С разпукването на зърната, торбичката постепенно се издува до крайния си си обем.

Тъй като зърната имат неправилна форма, при поставяне в даден съд между тях остава много празно пространство. Така, зърната запълват $1/2$ от пространството, в което се намират. Поради същата причина пуканките запълват $1/3$ от пространството, в което се намират, както е показано на фигурата вдясно.

Книжна кесия, в която има много голям брой зърна с обща маса $M = 200\ \mathrm{g}$ , се нуждае от 4 минути в микровълнова фурна, за да станат всички зърна на пуканки. Това време може да се раздели на 8 интервала, всеки по 30 секунди. В рамките на един такъв интервал се разпукват определен брой зърна. На диаграмата по-долу са показани броят зърна, които стават на пуканки в рамките на всеки 30-секунден интервал. В началния момент в кесията има само неразпукани зърна и обемът ѝ е $V_0 = 90\ \mathrm{cm^3}$ . Едно разпукано зърно, т.е. пуканка, има 40 пъти по-голям обем от едно неразпукано.

Зърната и пуканките се считат за еднородни. Приемете, че всички неразпукани зърна се намират под пуканките. Разстоянията върху диаграмата са ориентировъчни.

Брой разпуквания за всеки тридесетсекунден интервал.

а) Колко царевични зърна има в кесията в началния момент? [1,5 т.]

б) Колко е плътността $\rho_{\text{ЗЪР}}$ на едно царевично зърно? Колко е плътността $\rho_{\text{ПУК}}$ на една пуканка? [2 т.]

в) Намерете какъв е обемът на кесията в края на всеки 30-секунден интервал. За повече прегледност може да представите резултатите си в таблица. [5 т.]

г) Ако извадим кесията от фурната, след като са минали точно три минути от началото на готвенето, колко грама пуканки ще можем да си хапнем? [1,5 т.]

Решение

(а) Тъй като всички зърна стават на пуканки, за да намерим колко са били зърната в началния момент, трябва да намерим колко са всички разпуквания.

Броят на всички разпуквания е сума от разпукванията във всеки 30-секунден период, т.е. $N = 20+100+180+300+300+180+100+20 = 1200$ царевични зърна. [1,5 т]

(б) Тъй като масата на всички 1200 зърна царевица е $M = 200\ \mathrm{g}$ , то масата на едно зърно е $m_{\text{зърно}} = 1/6\ \mathrm{g} \approx 0{,}17\ \mathrm{g}$ . [0,25 т]

Масата на една пуканка е $m_{\text{пук}} = m_{\text{зърно}} = 1/6\ \mathrm{g} \approx 0{,}17\ \mathrm{g}$ . [0,25 т]

Началният обем на кесията е $V_0 = 90\ \mathrm{cm^3}$ . Поради неправилната форма на зърната, половината от този обем е незапълнена. Тогава обемът на едно зърно е $V_{\text{зърно}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{V_0}{N} = \dfrac{3}{80}\ \mathrm{cm^3} = 0{,}0375\ \mathrm{cm^3}$ . [0,25 т]

Обемът на една пуканка е $V_{\text{пук}} = 40V_{\text{зърно}} = 1{,}5\ \mathrm{cm^3}$ . [0,25 т]

Плътността на зърното е $\rho_{\text{зърно}} = \dfrac{m_{\text{зърно}}}{V_{\text{зърно}}} = \dfrac{40}{9}\ \mathrm{g/cm^3} \approx 4{,}44\ \mathrm{g/cm^3}$ . [0,5 т]

Плътността на пуканката е $\rho_{\text{пук}} = \dfrac{\rho_{\text{зърно}}}{40} = \dfrac{1}{9}\ \mathrm{g/cm^3} \approx 0{,}11\ \mathrm{g/cm^3}$ . [0,5 т]

(в) Ако в кесията има $N_1$ пуканки, значи има $(N - N_1)$ зърна. Приносът на пуканките към обема на кесията е $V_1 = 3N_1V_{\text{пук}}$ , а приносът на зърната е $V_2 = 2(N-N_1)V_{\text{зърно}}$ . [1 т]

Обемът на кесията е $V = V_1 + V_2$ . В края на всеки от осемте 30-секундни периода ще имаме:

	$N_1$	$V_1$ [cm $^3$ ]	$V_2$ [cm $^3$ ]	$V$ [cm $^3$ ]	Точки
1)	20	90	88,5	178,5	0,5 т
2)	120	540	81	621	0,5 т
3)	300	1350	67,5	1417,5	0,5 т
4)	600	2700	45	2745	0,5 т
5)	900	4050	22,5	4072,5	0,5 т
6)	1080	4860	9	4869	0,5 т
7)	1180	5310	1,5	5311,5	0,5 т
8)	1200	5400	0	5400	0,5 т

(г) От предната подточка се вижда, че след 3 минути ще имаме 1080 пуканки, всяка от които има маса 1/6 g. Ще можем да си хапнем пуканки с маса $M_{1080} = 180\ \mathrm{g}$ . [1,5 т]

Оригинал в Архива: NOF3_2017_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_7solutions.pdf