НОФ 2017, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Енергия (две независими части)

• а) $\frac{m}{M} < \frac{1}{2}$

  Системата е в равновесие при $M = 2m$.

• б) $v = \sqrt{\frac{2M - 4m}{M + 4m}\,gh}$

• в) $v = \sqrt{\frac{2\cdot 8\ \mathrm{kg} - 4\cdot 2\ \mathrm{kg}}{8\ \mathrm{kg} + 4\cdot 2\ \mathrm{kg}}\cdot 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\cdot 0{,}8\ \mathrm{m}} = 2\ \mathrm{m/s}$

• г) $T = 3\sqrt{\frac{2H}{g}} = 3\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}45\ \mathrm{m}}{10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}}} = 0{,}9\ \mathrm{s}$

• д) $L = \frac{5}{3}H = 0{,}75\ \mathrm{m}$

Част А. Тела и макари

а) Тъй като подвижната макара е в равновесие, когато силата, действаща ѝ от страна на горното въже, е два пъти по-голяма от силата, с която ѝ действа тялото с маса $m$, то системата от тела и макари ще е в равновесие, когато $M = 2m$. Ако $\frac{m}{M} < \frac{1}{2}$, тялото с маса $M$ ще тръгне надолу [1 т.]

б) Когато тялото с маса $M$ се удари в пода, ще е изминало разстояние $h$ и ще има скорост $v$. Заради подвижната макара, тялото с маса $m$ ще се придвижи нагоре на разстояние $2h$ и ще има скорост $2v$. [1 т.] Използвайки закона на запазване на енергията и сравнявайки началното и крайното положение на телата, се получава $Mgh = mg2h + \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}m(2v)^2$ [1 т.], откъдето $v = \sqrt{\frac{2M - 4m}{M + 4m}\,gh}$ . [1 т.]

в) Замествайки с дадените стойности, скоростта $v = \sqrt{\frac{2\cdot 8\ \mathrm{kg} - 4\cdot 2\ \mathrm{kg}}{8\ \mathrm{kg} + 4\cdot 2\ \mathrm{kg}}\, 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\, 0{,}8\ \mathrm{m}} = 2\ \mathrm{m/s}$ [1 т.]

Част Б. Подскачащо топче

г) Времето $T$ от началото на движението на топчето, докато то спре да подскача, може да се пресметне като сума на времената между ударите $T = T_{01} + T_{12} + T_{23} + \cdots$. [0,2 т.] Времето за движение между началното положение и първия удар е $T_{01} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ . [0,2 т.] Скоростта преди първия удар е $v_0 = \sqrt{2gH}$. [0,2 т.] Тъй като при удара топчето губи 3/4 от кинетичната си енергия, то $\frac{1}{4}\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2}$, [0,2 т.] където $v_1$ е скоростта след първия удар. Пресмята се, че $v_1 = \frac{v_0}{2}$. [0,2 т.] Времето между първия и втория удар е $T_{12} = \frac{2v_1}{g} = \frac{v_0}{g} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ . [0,2 т.] Аналогично времето между втория и третия удар е $T_{23} = \frac{2v_2}{g} = \frac{v_1}{g} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2H}{g}}$. [0,2 т.] Следователно $T = T_{01} + T_{12} + T_{23} + \cdots = \sqrt{\frac{2H}{g}}\left(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots\right)$. [0,5 т.] От приложената фигура се вижда че (сравнявайки сумата на площите на вписаните правоъгълници), че $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = 1$. [0,5 т.] Следователно $T = 3\sqrt{\frac{2H}{g}}$. [0,3 т.] След заместване, $T = 3\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}45\ \mathrm{m}}{10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}}} = 0{,}9\ \mathrm{s}$. [0,3 т.]

д) Пътят $L$ от началото на движението на топчето, докато то спре да подскача, може да се пресметне като сума на изминатите пътища между ударите $L = L_{01} + L_{12} + L_{23} + \cdots$. [0,2 т.] Пътят за движение между началното положение и първия удар е $L_{01} = H$. Пътят за движение между първия и втория удар $L_{12}$ може да се пресметне от условието за загуба на енергия. Тъй като тялото губи ¾ от енергията си, то ще отскочи на 4 пъти по-малка височина $H_{12}$, [0,2 т.] т.е $L_{12} = 2H_{12} = \frac{1}{2}H$. [0,2 т.] Аналогично пътят за движение между втория и третия удар $L_{23} = 2H_{23} = \frac{1}{2}H_{12} = \frac{1}{8}H$. [0,2 т.] Следователно $L = L_{01} + L_{12} + L_{23} + \cdots = H + \frac{1}{2}H + \frac{1}{8}H + \frac{1}{32}H + \frac{1}{128}H + \cdots = H\left[1 + 2\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots\right)\right]$. [0,2 т.] От приложената фигура се вижда че (сравнявайки сумата на площите на вписаните правоъгълници), че $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots = \frac{1}{3}$. [0,5 т.] Следователно $L = \frac{5}{3}H$ [0,3 т.] $= 0{,}75\ \mathrm{m}$. [0,2 т.]