Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Подводница.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема за 8. клас · 11 април 2017 г. · 10 т.

Условие

а) Подводница има маса $M = 2400\ \mathrm{t}$ (тона). Когато се спусне във вода, обемът от нея, който е над водата, е $V_1 = 800\ \mathrm{m^3}$ . В подводницата има резервоари, пълни с въздух, които, когато тя трябва да потъне под водата, се пълнят с необходимото количество вода. Плътността на водата е $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ . Плътността на въздуха се приема, че е пренебрежимо малка. Какъв обем вода $V_x$ трябва да има в резервоарите на подводницата, за да бъде тя в равновесие под водата? Колко е целият обем $V_0$ на подводницата? [3 т.]

б) Максималната дълбочина, която тя може да достигне безопасно, е $h = 360\ \mathrm{m}$ . Максималният ъгъл, на който може да се накланя по дължина, е $\alpha = 30^\circ$ . Максималната скорост, която може да развива под вода, е $v_{\max} = 54\ \mathrm{km/h}$ . Изчислете минималното време $t_{\min}$ , за което подводницата може да достигне повърхността на водата, тръгвайки от максималната дълбочина и движейки се с максимална скорост. [1 т.]

в) Когато подводницата се движи във водата, изпитва голяма сила на съпротивление (триене) от страна на водата. Тази сила се дава с формулата $F_{\mathrm{тр}} = \frac{1}{2}C\rho S v^2$ , където $\rho$ е плътността на водата, $v$ е скоростта на подводницата, а $S$ е нейното напречно сечение (перпендикулярно на посоката на движение). За да го изчислите, моделирайте формата ѝ с цилиндър с дължина $l = 80\ \mathrm{m}$ . $C$ е число и се нарича аеродинамичен коефициент. За подводницата той е $C = 0{,}1$ . Изчислете каква мощност трябва да имат двигателят на подводницата, за да може тя да се движи под вода с максималната си скорост $v_{\max}$ . Ще зависи ли тази мощност от това дали подводницата се движи хоризонтално, плава под ъгъл нагоре (изплава) или под ъгъл надолу (потъва)? [3 т.]

г) Намерете максималната скорост $v_{\mathrm{верт}}$ , с която подводницата ще изплава вертикално (тя остава хоризонтална) с изгасен двигател, ако внезапно изхвърли (изтласка) водата от резервоарите си. Това става като резервоарите отново се напълнят с въздух. За да изчислите новата сила на триене, съобразете и изчислете какво е новото напречно сечение $S_1$ . Аеродинамичният коефициент за тази ситуация (посока на движение) е $C_1 = 0{,}5$ . Земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . [2 т.]

д) Какво минимално налягане $p_{min}$ трябва да има въздуха, за да може да изтласка водата от резервоарите в океана, когато подводницата се намира на дълбочина $h = 360\ \mathrm{m}$ ? Атмосферното налягане е $p_0 = 1{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ [1 т.]

Отговори

Решение

а) Когато подводницата плава на повърхността, силата ѝ на тежестта се уравновесява с Архимедовата сила, която ѝ действа: $Mg = \rho(V_0 - V_1)g$ . [0,5 т.] Така $V_0 = V_1 + \frac{M}{\rho} =$ [0,5 т.] $800\ \mathrm{m^3} + \frac{2400000\ \mathrm{kg}}{1000\ \mathrm{kg/m^3}} = 3200\ \mathrm{m^3}$ . [0,5 т.] За да бъде в равновесие под водата, новата ѝ сила на тежестта се уравновесява с новата Архимедова сила, която ѝ действа: $(M + \rho V_x)g = \rho V_0 g$ , [0,5 т.] откъдето $V_x = V_0 - \frac{M}{\rho} =$ [0,5 т.] $3200\ \mathrm{m^3} - \frac{2400000\ \mathrm{kg}}{1000\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}} = 800\ \mathrm{m^3}$ . [0,5 т.]

б) Плувайки под ъгъл $\alpha = 30^\circ$ спрямо хоризонталата (повърхността) подводницата ще се движи по хипотенузата на правоъгълен триъгълник с малък катет $h$ . Следователно $t_{\min} = \frac{2h}{v_{\max}} =$ [0,5 т.] $\frac{2\cdot 360\ \mathrm{m}}{15\ \mathrm{m/s}} = 48\ \mathrm{s}$ . [0,5 т.]

в) Мощността на двигателя е $P = \frac{A}{t} = \frac{F\cdot x}{t} = F\cdot v$ . [0,5 т.] При равномерно движение тази сила е равна на силата на триене, $P = F_{\mathrm{тр}}\cdot v = \frac{1}{2}C\rho S v^3$ . [0,5 т.] Сечението $S = \frac{V_0}{l}$ . [0,5 т.] Окончателно $P = \frac{1}{2}C\rho\frac{V_0}{l}v^3 =$ [0,5 т.] $=$ $\frac{0{,}1\cdot 1000\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\cdot 3200\ \mathrm{m^3}\cdot\left(15\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^3}{2\cdot 80\ \mathrm{m}} = 6{,}75\ \mathrm{MW}$ . [0,5 т.] Тъй като силата на тежестта се уравновесява от Архимедовата сила, необходимата мощност няма да зависи от посоката на движение (хоризонтална или под ъгъл). [0,5 т.]

г) Когато изплава вертикално с изпразнени от вода резервоари, максималната скорост $v_{\mathrm{верт}}$ на подводницата ще се определя от равенството на силата на тежестта, Архимедовата сила и силата на триене: $Mg + F_{\mathrm{тр}} = \rho V_0 g$ , [0,4 т.] откъдето $\frac{1}{2}C_1\rho S_1 v_{\mathrm{верт}}^2 = \rho V_0 g - Mg$ , $v_{\mathrm{верт}} = \sqrt{\frac{2(\rho V_0 - M)g}{C_1\rho S_1}}$ . [0,4 т.] Новото напречно сечение е $S_1 = l\cdot 2r$ , където $r$ е радиусът на цилиндъра: $V_0 = l\cdot S = l\cdot\pi r^2$ . Така $r = \sqrt{\frac{V_0}{\pi l}} = \sqrt{\frac{3200\ \mathrm{m^3}}{\pi\, 80\ \mathrm{m}}} \approx 3{,}57\ \mathrm{m}$ , [0,4 т.] $S_1 = 80\ \mathrm{m}\cdot 2\cdot 3{,}57\ \mathrm{m} \approx 571\ \mathrm{m^2}$ , [0,4 т.] $v_{\mathrm{верт}} = \sqrt{\frac{2\cdot\left(1000\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\cdot 3200\ \mathrm{m^3} - 2400000\ \mathrm{kg}\right)\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}}{0{,}5\cdot 1000\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\cdot 571\ \mathrm{m^2}}} \approx 7{,}5\ \mathrm{m/s}$ . [0,4 т.]

д) Минималното налягане $p_{min}$ на въздуха е $p_{min} = \rho g h + p_0 =$ [0,5 т.] $1000\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\, 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\cdot 360\ \mathrm{m} + 1{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{Pa} = 37{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2017_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_8solutions.pdf