Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Падащо мънисто

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема върху учебно съдържание за 9. клас · 10 април 2017 г. · 10 т.

Условие

Основни физични константи

земно ускорение: $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ;
константа в закона на Кулон: $k = 9 \cdot 10^{9}\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$ ;
елементарен електричен заряд: $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$ ;
електрична константа: $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ ;
магнитна константа: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ .

Две еднакви мъниста с маси $m = 0{,}1\ \mathrm{g}$ всяко са нанизани на вертикална спица от електроизолиращ материал, както е показано на фиг. 1 а. Долното мънисто е закрепено неподвижно към спицата, а горното може да се хлъзга по нея. На мънистата са придадени еднакви положителни заряди $q = 2 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{C}$ . Приемете, че размерите на мънистата са много по-малки от разстоянието между тях.

Вертикална спица с две мъниста; разстоянието между тях е означено с h0. — Фиг. 1 а: двете мъниста на вертикалната спица, на разстояние $h_0$ едно от друго.

Вертикална спица с долно закрепено мънисто и горно мънисто на височина h, с отбелязани нива h1 и h2. — Фиг. 1 б: интервалът от височини $h_1 \le h \le h_2$ , в който горното мънисто е в равновесие.

Можете да изразите буквените отговори в дадена подточка както чрез началните данни, така и чрез величини, вече определени в другите подточки.

А) На каква височина $h_0$ над долното мънисто горното мънисто би се намирало в равновесие, ако между него и спицата няма триене? [2 т.]

Б) Заради триенето обаче горното мънисто се намира в равновесие за цял интервал от височини $h_1 \le h \le h_2$ (фиг. 1 б). Най-малката височина, на която мънистото се намира в равновесие, е $h_1 = 5\ \mathrm{cm}$ .

Изобразете на чертеж силите, които действат на мънистото на височина $h_1$ . Колко е големината на силата $f$ на триене между мънистото и спицата в тази точка? [2,5 т.]

В) Изобразете на чертеж силите, които действат на мънистото в най-горната точка, където то се намира в равновесие. Получете израз и пресметнете $h_2$ ? [4,5 т.]

Г) Мънистото е пуснато да пада с нулева начална скорост от височина $H = 10\ \mathrm{cm}$ . На каква височина $h_{\mathrm{m}}$ то достига максимална скорост? [1 т.]

Отговори

Решение

А) На мънистото действат електростатичната сила $F_e$ и силата на тежестта G, които се уравновесяват:

\frac{kq^2}{h_0^2} = mg

Два чертежа със силите Fe, G и f, действащи на мънистото на височина h1 и на височина h2. — Силите върху горното мънисто: вляво — в най-долната равновесна точка ( $h_1$ , $F_e > G$ ), вдясно — в най-горната ( $h_2$ , $F_e < G$ ).

(1.0 т)

Следователно:

h_0 = q\sqrt{\frac{k}{mg}} = 0{,}06\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{cm}

(1.0 т)

(− 0.5 точки за грешен числен отговор или за липсващи единици)

Б) Силите, действащи на мънистото, са показани на фигурата вляво. (1.5 т)

(по 0.5 точки за правилна посока на всяка сила; − 0.5 точки, ако от чертежа не личи, че $F_e > G$ ). От условието за равновесие намираме:

f = \frac{kq^2}{h_1^2} - mg = mg\left(\frac{h_0^2}{h_1^2} - 1\right) = 4{,}4 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{N}

(1.0 т)

(− 0.5 точки за грешен числен отговор или за липсващи единици)

В) Силите, действащи на мънистото, са показани на фигурата вдясно. (1.5 т)

(по 0.5 точки за правилна посока на всяка сила; − 0.5 точки, ако от чертежа не личи, че $F_e < G$ ). От условието за равновесие имаме:

f = mg - \frac{kq^2}{h_2^2}

(1.0 т)

Силата на триене в най-горната точка има същата големина, като силата на триене в най-долната точка. Следователно:

\frac{kq^2}{h_1^2} - mg = mg - \frac{kq^2}{h_2^2}

(1.0 т)

\frac{1}{h_1^2} - \frac{1}{h_0^2} = \frac{1}{h_0^2} - \frac{1}{h_2^2}

h_2 = \frac{h_0h_1}{\sqrt{2h_1^2 - h_0^2}} \approx 8\ \mathrm{cm}

(1.0 т)

(− 0.5 точки за грешен числен отговор или за липсващи единици)

Г) Понеже $H > h_2$ , равнодействащата на силите $F_e, G$ и $f$ е насочена надолу. (0.5 т) Мънистото се ускорява до момента, в който трите сили се уравновесяват, т.е. докато достигне височина $h_2$ . Следователно:

h_{\mathrm{m}} \equiv h_2 \approx 8\ \mathrm{cm}

(0.5 т)

Оригинал в Архива: NOF3_2017_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_9solutions.pdf