Съдържание

НОФ 2017, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Свръхкондензатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

Национална олимпиада по физика 2017, национален кръг, тема върху учебно съдържание за 9. клас · 10 април 2017 г. · 10 т.

Условие

Електрическа верига: източник, реостат с подвижен плъзгач и кондензатор C. — Фиг. 2 а: източник с ЕДН $\mathcal{E}$ , реостат $R(t)$ и кондензатор $C$ , свързани последователно.

Хоризонтална жица с диаметър d и плъзгач, който се движи надясно със скорост v. — Фиг. 2 б: плъзгачът се движи със скорост $v$ по жицата на реостата с диаметър $d$ .

От учебниците вероятно знаете, че един фарад е твърде голям капацитет за кондензатор. С напредването на технологиите обаче през последните години бяха разработени т.нар. свръхкондензатори с капацитет достигащ стотици и хиляди фаради. Подобни кондензатори се използват за временно съхраняване на енергия в хибридните автомобили. Тази енергия се използва за задвижване на помощен електромотор, когато за кратко време е нужно автомобилът да бъде ускорен, например при изпреварване. В тази задача ще бъде разгледан свръхкондензатор с капацитет $C = 100\ \mathrm{F}$ , който се зарежда до максимално напрежение $U_{\max} = 48\ \mathrm{V}$ .

А) Кондензаторът е монтиран в автомобил с маса $m = 1000\ \mathrm{kg}$ , който се движи с начална скорост $v_0 = 20\ \mathrm{m/s}$ . До каква по-висока скорост $v_1$ би се ускорил автомобилът при изпреварване, ако енергията на напълно заредения кондензатор бъде преобразувана изцяло в механична енергия на автомобила? [2,5 т.]

Б) За да бъде зареден наново, кондензаторът се свързва в електрическата верига, показана на фиг. 2. Началният заряд на кондензатора е нула. Източникът има ЕДН $\mathcal{E} = 48\ \mathrm{V}$ и нулево вътрешно съпротивление. Предназначението на реостата е да не се допусне протичането във веригата на прекалено голям ток, който би повредил източника. За целта плъзгачът на реостата се движи така, че по време на зареждането през източника да тече максималният допустим ток I = 8 A. Получете буквен израз за функцията R(t), по която се променя съпротивлението R на включения във веригата участък на реостата от времето t. Начертайте графика на функцията R(t) на разграфената координатна система в работния лист.

Работен лист към задача 2

Начертайте графика към подточка Б и предайте листа заедно с решението. [4,5 т.]

В) Реостатът представлява жица с диаметър $d = 0{,}2\ \mathrm{mm}$ , изработена от вещество със спеццифично съпротивление $\rho = 2 \cdot 10^{-6}\ \Omega\,\mathrm{m}$ , по която се хлъзга плъзгачът, както е показано на фиг. 2 б. С каква скорост $v$ трябва да се движи плъзгачът по жицата, така че съпротивлението на реостата да се променя по закона, получен в подточка Б. [3 т.]

Отговори

Решение

А) Енергията на заредения кондензатор е:

W = \frac{CU_{\max}^2}{2}

(0.5 т)

Началната кинетична енергия на автомобила е:

E_{\mathrm{k}0} = \frac{mv_0^2}{2}

(0.5 т)

Ако енергията на кондензатора бъде използвана изцяло за ускоряване на автомобила, кинетичната енергия на автомобила става равна на:

\frac{mv_1^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{CU_{\max}^2}{2}

(0.5 т)

Оттук намираме:

v_1 = \sqrt{v_0^2 + \frac{CU_{\max}^2}{m}} \approx 25\ \mathrm{m/s}

(1.0 т)

Б) Зарядът на кондензатора се увеличава с времето по закона:

q = It

(0.5 т)

а напрежението му:

U_C = \frac{q}{C} = \frac{It}{C}

(0.5 т)

Понеже реостатът и кондензаторът са свързани последователно към източника, напрежението U върху реостата трябва да се променя с времето t по закона:

U(t) = \mathcal{E} - U_C = \mathcal{E} - \frac{It}{C}

(0.5 т)

От закона на Ом намираме как трябва да се променя съпротивлението на реостата:

R(t) = \frac{U(t)}{I} = \frac{\mathcal{E}}{I} - \frac{t}{C}

(1.0 т)

Оценяване на графиката:

Нанесени са стойности по абсцисата (0.2 т)
Абсцисата е надписана и са посочени единиците (0.2 т)
Нанесени са стойности по ординатата (0.2 т)
Ординатата е надписана и са посочени единиците (0.2 т)
Графиката пресича абсцисата при 600 s и ординатата при 6 $\Omega$ (1.2 т)

Точките за надписване на осите и нанасяне на стойности по тях не се дават, ако не е построена самата графика.

Графика R (Ω) спрямо t (s): низходяща права от 6 Ω при 0 s до 0 Ω при 600 s. — Търсената графика на $R(t)$ : права от $R = 6\ \Omega$ при $t = 0$ до $R = 0$ при $t = 600\ \mathrm{s}$ .

В) В началния момент съпротивлението на реостата е:

R_0 = \frac{\mathcal{E}}{I}

(0.2 т)

От съотношението:

R = \frac{\rho L}{S}

(0.5 т)

получаваме дължината на реостата в началния момент:

L_0 = \frac{\mathcal{E}S}{\rho I}

(0.3 т)

Времето за зареждане на кондензатора се определя от условието R(t) = 0. Следователно:

t = \frac{C\mathcal{E}}{I}

(0.2 т)

За това време плъзгачът се премества по цялата дължина на реостата. Следователно търсената скорост е:

v = \frac{L_0}{t} = \frac{S}{\rho C}

(0.5 т)

Като вземем предвид, че: $S = \pi d^2/4$ (0.3 т)

намираме:

v = \frac{\pi d^2}{4\rho C} \approx 1{,}57 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m/s} = 0{,}157\ \mathrm{mm/s}

(1.0 т)

Оригинал в Архива: NOF3_2017_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2017_9solutions.pdf