Съдържание

Условие 3 Уреди и материали Отговори Решение

НОФ 2017, III кръг (национален), експериментална задача 2 — Задача 2.2. Задачи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2017

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛЕН КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. Разград, 11–12 април 2017 г. ЕКСПЕРИМЕНТАЛНА ЗАДАЧА № 2 · 11 април 2017 г.

Внимание: Бележка към темата

Файлът с решения в архива (exp1.pdf) е за Експериментална задача 1; официалното примерно решение на тази задача е отпечатано в самия файл на задачата (стр. 2–3).

Условие

Определете коефициента на триене $\mu$ между стоманен болт и полиестерен конец, използвайки предоставените уреди и материали, като изпълните следните стъпки:

1. Опишете кратко и ясно последователността на провеждане на измерванията, необходими за определяне на коефициента на триене, като наблегнете само на най-важното. [4 т.]

Забележка: първо прочетете всички задачи по-долу.

2. Направете схематично представяне (подобно на фигурата по-горе) на експерименталната установка, където да нарисувате и означите всички сили, както и другите величини, които ще са ви необходими за определянето на $\mu$ . [1,4 т.]

3. Представете зависимостта (1) с подходящи променливи, така че да получите линейна зависимост от вида $y = ax$ ( $a = \mathrm{const}$ ), от която да може да се определи $\mu$ . [1 т.]

4. Направете необходимите измервания и представете данните таблично (използвайте предоставения лист за таблицата). [4 т.]

5. Оценете абсолютната грешка на измерените величини в задача 4. [0,5 т.]

6. Използвайте експерименталните данни от задача 4. и представете зависимостта от задача 3. графично. [4,5 т.]

7. Пресметнете $\mu$ от наклона на правата от задача 6. [2 т.]

8. Оценете абсолютната и относителната грешка на $\mu$ . [1,6 т.]

9. Представете крайния резултат за $\mu$ , като отчитате пресметнатите грешки. [1 т.]

3 Уреди и материали

Стоманен болт М6 $\times$ 70 mm … 1 бр.
Полиестерен конец … 1 бр.
Пластмасови чашки с кукички … 2 бр.
Г–образна планка за захващане на болта … 1 бр.
Подложни шайби М6 с различен размер … 5 бр.
Федер шайби М6 … 2 бр.
Гайка М6 … 1 бр.
Крилчата гайка М6 … 1 бр.
Болт М5 $\times$ 50 mm … 1 бр.
Гайки М5 … 3 бр.
Лагер с размери 5 $\times$ 9 $\times$ 5 mm … 1 бр.
О–пръстени, който могат да се сложат на лагера … 2 бр.
Метално рамо с два отвора Ф5 и Ф6 … 1 бр.
Дърводелска стяга … 1 бр.
Гайки М8 … 20 бр.
Транспортир … 1 бр.
Милиметрова хартия … 1 л.

Забележка: металното рамо служи за промяна на контактния ъгъл. За по-лесно отчитане на ъгъла може да считате, че конеца е успореден на страната на рамото. Може да считате, че конеца е неразтеглив и масата му е пренебрежимо малка, също както и инерчният момент на лагера и триенето в оста му. На допълнителен лист ще имате масите на чашките и гайките М8.

Отговори

Решение

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНА ЗАДАЧА № 2: ПРИМЕРНО РЕШЕНИЕ

1. Опишете кратко и ясно последователността на провеждане на измерванията, необходими за определяне на коефициента на триене, като наблегнете само на най-важното. (4.0 т.)

Последователност на провеждане на измерванията: от теоретичната част и поставените задачи се разбира, че за определянето на коефициента на триене трябва да направим многократни измервания, като в случая може да променяме силите на опън от двете страни на конеца, както и контактния ъгъл на конеца с болта. Силите на опън могат да се променят като слагаме различен брой гайки в всяка от чашките, а ъгъла, като въртим подвижното рамо. За да получим еквидистантни точки на графиката може да правим измерванията по следния начин: фиксираме рамото за определени ъгли в интервала от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$ (може да направим повече от един оборот) и слагаме гайки в чашките, ако е необходимо променяме малко ъгъла, така че при конкретното отношение на масите $M_l/M_h$ силите да се уравновесяват и чашките да остават неподвижни. Повтаряме измерванията докато получим достатъчен брой точки за построяване на графиката (4.0 т.).

2. Направете схематично представяне на експерименталната установка, където да нарисувате и означите всички сили, както и другите величини, които ще са ви необходими за определянето на $\mu$ . (1.4 т.)

Експерименталната установка е представена схематично на фигурата вдясно (1.0 т.), където с $M_l$ и $M_h$ са означени сумарните маси на чашките от двете страни на конеца и на гайките, които се намират в съответната чашка (0.2 т.). Масата на конеца е пренебрежимо малка в сравнение с останалите маси. Както се вижда от фигурата, силите на опън от двете страни на лагера са еднакви т.к. може да предположим, че триенето в оста на лагера е много малко, а инерчният му момент е пренебрежим (0.2 т.).

Схема на установката: конец, навит около болт (кръг с означени „болт“ и ъгъл θ), минава през лагер (кръг с надпис „лагер“); от болта надолу виси маса с тегло M_l g при опън T_l, от лагера надолу — маса с тегло M_h g при опън T_h; по конеца между болта и лагера е означено T_h.

3. Представете зависимостта (1) с подходящи променливи, така че да получите линейна зависимост от вида $y = ax$ ( $a = \mathrm{const}$ ), от която да може да се определи $\mu$ . (1.0 т.)

За да получим линейна зависимост може да запишем $T_l = T_h \exp(\mu\theta)$ във вида:

\ln\left(\frac{T_l}{T_h}\right) = \mu\theta

от където може да се определи наклона, който в случая съответства на коефициента на триене $\mu$ .

4. Направете необходимите измервания и представете данните таблично. (4.0 т.)

Измерените експериментални данни са представени в таблицата по-долу, където са използвани следните означения:

$n_l$ броя на гайките в чашка $l$
$n_h$ броя на гайките в чашка $h$
$n$ броя навивки на конеца около болта
$M_l = n_l m_{\text{гайка}} + m_{\text{чаша}}$
$M_h = n_h m_{\text{гайка}} + m_{\text{чаша}}$

Също така сме отчели, че $T_l/T_h = M_l/M_h$ (0.7 т.).

$n_l$	$n_h$	$n$	$\theta$ (deg)	$\theta$ (rad)	$\ln(M_l/M_h)$
7	6	0	21	0.37	0.14
6	5	0	39	0.68	0.16
8	6	0	88	1.54	0.26
10	7	0	133	2.32	0.33
11	7	0	178	3.11	0.42
15	6	0	327	5.71	0.86
15	5	1	44	7.05	1.03
13	4	1	82	7.71	1.08
10	2	1	202	9.81	1.41
9	1	1	340	12.22	1.80
10	1	2	26	13.02	1.89
11	1	2	56	13.54	1.98
12	1	2	98	14.28	2.07

При отбелязани мерни единици в таблицата се дават (0.3 т.). Над десет измервания се дават (3.0 т.), под пет измервания се дават (1.5 т.).

5. Оценете абсолютната грешка на измерените величини в задача 4. (0.5 т.)

Максималните абсолютни грешки при определяне на $M_l$ и $M_h$ се дава с изразите:

\Delta M_l = n_l \Delta m_{\text{гайка}} - \Delta m_{\text{чаша}},

\Delta M_h = n_h \Delta m_{\text{гайка}} + \Delta m_{\text{чаша}},

където $\Delta m_{\text{гайка}} = m_{\text{чаша}} = 0.005\ \mathrm{g}$ , а точността при измерване на ъгъла е $\Delta\theta = 0.5^{\circ}$ .

6. Използвайте експерименталните данни от задача 4. и представете зависимостта от задача 3. графично. (4.5 т.)

Точки за графиката се дават ако:

използвана е цялата площ на листа милиметрова хартия; (1.5 т.)
по осите на графиката са означени съответните величини; (1.0 т.)
отбелязани са мерните единици на величините; (0.3 т.)
нанесени са всички точки от таблицата в задача 4; (1.2 т.)
зависимостта е от вида $y = ax$ и построената права задължително трябва да минава през точката с координати $(0.0, 0.0)$ . (0.5 т.)

Графика на ln(T_l/T_h) (от 0.0 до 2.0) спрямо θ (rad) (от 0 до 14): експерименталните точки лежат около права през началото; надписи „ln T_l/T_h = μθ“ и „μ = 0.140 ± 3%“.

7. Пресметнете $\mu$ от наклона на правата от задача 6. (2.0 т.)

Наклонът на графиката може да се определи графично, като изберем две точки от правата прекарана през експерименталните данни, например т. $A$ с координати $(0.0, 0.0)$ и т. $B$ с координати $(14.00, 1.96)$ . Тогава за коефициента на триене $\mu$ можем да запишем:

\bar{\mu} = \frac{B_y - A_y}{B_x - A_x} = \frac{1.96}{14.00} = 0.14

Наклонът на графиката може да се определи и по метода на най-малките квадрати.

8. Оценете абсолютната и относителната грешка на $\mu$ . (1.6 т.)

Като използваме, че $\bar{\mu} = \dfrac{B_y - A_y}{B_x - A_x}$ , то максималната относителна грешка на $\bar{\mu}$ ще е:

r = \frac{\Delta\mu}{\bar{\mu}} = \frac{\Delta(B_x - A_x)}{B_x - A_x} + \frac{\Delta(B_y - A_y)}{B_y - A_y}, \quad \mathbf{(1.0\ т.)}

където $\Delta(B_x - A_x) = \Delta A_x + \Delta B_x = 0.2$ (0.2 т.), а $\Delta(B_y - A_y) = \Delta A_y + \Delta B_y = 0.04$ (0.2 т.). Така получаваме, че $\dfrac{\Delta\mu}{\bar{\mu}} = \dfrac{0.2}{14} + \dfrac{0.04}{1.96} = 3\%$ , а $\Delta\mu = 0.004$ (0.2 т.).

Абсолютната грешка може да се оцени и графично, като през експерименталните точки се прекарат още две прави, от където да се определят максималния и минималния наклон, съответно да се пресметнат $\mu_{\min}$ и $\mu_{\max}$ , тогава $\Delta\mu = (\mu_{\max} - \mu_{\min})/2$ .

9. Представете крайния резултат за $\mu$ , като отчитате пресметнатите грешки. (1.0 т.)

\mu = \bar{\mu} \pm \Delta\mu,\quad \mu = 0.140 \pm 0.004\ \mathbf{(0.5\ т.)}

\mu = \bar{\mu} \pm r,\quad \mu = 0.140 \pm 3\%\ \mathbf{(0.5\ т.)}

Оригинал в Архива: exp2.pdf · официални решения: exp1.pdf