Съдържание

НОФ 2018, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Стопяем предпазител

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, областен кръг, тема за 10–12. клас (четвърта състезателна група) · 18 февруари 2018 г. · 10 т.

Условие

Електрическите предпазители (бушони) служат за прекъсване на дадена електрическа верига, когато токът във веригата достигне определена максимална стойност $I_{\mathrm{max}}$ . На фиг. 2 е дадена принципна схема на стопяем електрически предпазител. Той се състои от тънка медна жичка с дължина $\ell = 2\ \mathrm{cm}$ и с диаметър $d = 0{,}02\ \mathrm{mm}$ , която се намира в херметично затворен стъклен балон. Балонът е изпълнен с разреден инертен газ (аргон), с цел да се предпази жичката от окисление при висока температура. Предпазителят е затворен с метални капачки, посредством които се свързва във веригата. Диаметърът на жичката е подбран по такъв начин, че когато токът е равен на $I_{\mathrm{max}}$ , жичката се разтапя.

Принципна схема на стопяем предпазител: хоризонтален стъклен балон с метални капачки в двата края, вътре тънка жичка с диаметър $d$ и дължина $\ell$, отбелязана с двустранна стрелка. — Фиг. 2

Основни данни:

Температура на топене на медта: $t = 1085\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ;
Специфично съпротивление на медта при температура $t_0 = 20\ ^{\circ}\mathrm{C}$ : $\rho_0 = 1{,}68 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \mathrm{m}$ ;
Атмосферно налягане: $p_{\mathrm{A}} = 1{,}01 \cdot 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ ;
Константа на Стефан-Болцман: $\sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4}$ .

а) Колко е съпротивлението $R$ на жичката, когато през нея тече максималният възможен ток? Приемете, че специфичното съпротивление на медта е правопропорционално на абсолютната температура $T$ . [3 т.]

б) При протичане на ток по жичката газът в балона се загрява до температурата, до която е загрята жичката. За да се избегне спукване на стъкления балон, налягането на газа в балона при стапянето на жичката не трябва да надвишава атмосферното налягане $p_{\mathrm{A}}$ . За целта при стайна температура $t_0 = 20\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , налягането $p_0$ на газа в балона се подбира по-малко от атмосферното налягане $p_{\mathrm{A}}$ . Колко е максималното възможно налягане $p_0$ на газа в балона при стайна температура? [2,5 т.]

в) Пресметнете тока $I_{\mathrm{max}}$ , при който жичката се стапя. Приемете, че жичката излъчва топлина като абсолютно черно тяло. Топлообменът между жичката и металните капачки се пренебрегва. Излъчването на жичката минава свободно през газа и през стъкления балон. [2,5 т.]

г) Какъв максимален ток би пропускал предпазител със:

същия диаметър, но с два пъти по-голяма дължина на жичката;
същата дължина, но с два пъти по-голям диаметър на жичката? [2 т.]

Отговори

Решение

а) От правата пропорционалност между специфичното съпротивление и абсолютната темепература, следва, че специфичното съпротивление $\rho_{\mathrm{т}}$ на медта при температурата на топене удоволетворява равенството:

\frac{\rho_{\mathrm{т}}}{T_{\mathrm{т}}} = \frac{\rho_0}{T_0}

[0,5 точки]

където:

T_{\mathrm{т}} = t_{\mathrm{т}} + 273 = 1358\ \mathrm{K}

[0,5 точки]

T_0 = t_0 + 273 = 293\ \mathrm{K}

[0,5 точки]

Следователно:

\rho_{\mathrm{т}} = \rho_0\frac{T_{\mathrm{т}}}{T_0} \approx 7{,}79 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \mathrm{m}

[0,5 точки]

Съответно съпротивлението на жичката при тази температура е:

R = \frac{\rho_{\mathrm{т}}\ell}{S} = \frac{4\rho_{\mathrm{т}}\ell}{\pi d^2} \approx 4{,}96\ \Omega

[1 точка]

б) Обемът, който заема газът в балона не се променя, т.е. процесът на загряване на газа е изохорен. [0,5 точки за словесно обяснение]

От закона за изохорния процес имаме:

\frac{p_{\mathrm{А}}}{T_{\mathrm{т}}} = \frac{p_0}{T_0}

[1 точка]

Оттук намираме:

p_0 = p_{\mathrm{А}}\frac{T_0}{T_{\mathrm{т}}} \approx 2{,}18 \cdot 10^{4}\ \mathrm{Pa}

[1 точка]

в) От закона за запазване на енергията следва, че мощността $P$ на електричния ток през жичката е равна на количеството топлина, което жичката излъчва за единица време. От закона на Стефан-Болцман следва:

P = \sigma T_{\mathrm{т}}^4 S_{\mathrm{ок}}

[0,5 точки]

където $S_{\mathrm{ок}} = \pi d\ell$ [0,5 точки] e площта на околната повърхност на жичката. От закона на Джаул-Ленц следва:

P = I_{\mathrm{max}}^2 R

[0,5 точки]

Така намираме:

I_{\mathrm{max}} = T_{\mathrm{т}}^2\sqrt{\frac{\sigma \pi d \ell}{R}} \approx 0{,}221\ \mathrm{A}\ (221\ \mathrm{mA})

[1 точка]

г) Като вземем предвид, че $R = 4\rho_{\mathrm{т}}\ell/\pi d^2$ , получаваме, че максималният ток не зависи от дължината на проводника (0,5 точки) и е пропорционален на $\sqrt{d^3}$ (0,5 точки). Следователно:

максималният ток за проводник с друга дължина, но със същия диаметър, е 221 mA; [0,5 точки]
максималният ток за проводник с два пъти по-голям диаметър е: $221 \cdot \sqrt{2^3} \approx 625\ \mathrm{mA}$ . [0,5 точки]

Оригинал в Архива: NOF2_2018_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2018_10-12solutions.pdf