Съдържание

НОФ 2018, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Разреждане на кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, областен кръг, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 18 февруари 2018 г. · 10 т.

Условие

Два кондензатора с капацитети $C_1$ и $C_2$ (приемете, че $C_1 > C_2$ ), са заредени от батерия с електродвижещо напрежение $\mathcal{E}$ , като първо единият, а после другият е свързан към клемите ѝ. След това двата кондензатора са свързани един към друг, като положително заредената плоча на единия е свързана към отрицателно заредената плоча на другия. При тази операция напрежението върху тях станало $U' = 3\ \mathrm{V}$ , а по всеки един от двата съединителни проводника, свързващи плочите, протекъл заряд $Q = 12\ \mathrm{\mu C}$ . Същата операция била повторена още веднъж (кондензаторите били разкачени и наново били свързани един към друг, като положително заредената плоча на единия била свързана към отрицателно заредената плоча на другия). Новото напрежение върху тях станало $U'' = 1\ \mathrm{V}$ . Получете формули и изчислете стойностите на:

а) електродвижещото напрежение $\mathcal{E}$ ; [4 т.]

б) капацитетите $C_1$ и $C_2$ . [6 т.]

Отговори

Решение

а) След първоначалното зареждане на кондензаторите до напрежение $\mathcal{E}$ , зарядът на първия кондензатор е $q_1 = C_1\mathcal{E}$ , а на втория е $q_2 = C_2\mathcal{E}$ . След тяхното разкачане и свързване на положително заредената плоча на единия към отрицателно заредената плоча на другия, общият заряд $q_1 - q_2$ ще се разпредели така: $q'_1 = C_1U'$ , $q'_2 = C_2U'$ , като $q_1 - q_2 = q'_1 + q'_2$ . [1 т.] Следователно $(C_1 - C_2)\mathcal{E} = (C_1 + C_2)U'$ . [0,5 т.] Същата връзка между началното и крайно напрежение ще бъде изпълнена и след второто разреждане (презареждане за $C_2$ ): $(C_1 - C_2)U' = (C_1 + C_2)U''$ . [0,5 т.] Разделяйки последните две уравнения, се получава $\dfrac{\mathcal{E}}{U'} = \dfrac{U'}{U''}$ , [1 т.] откъдето $\mathcal{E} = \dfrac{U'^2}{U''} = \dfrac{(3\ \mathrm{V})^2}{1\ \mathrm{V}} = 9\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

б) При първото разреждане на първия кондензатор, зарядът му намалява от $q_1$ до $q'_1$ , а напрежението на плочите му – от $\mathcal{E}$ до $U'$ . Следователно $Q = q_1 - q'_1 = C_1(\mathcal{E} - U')$ , [1 т.] откъдето $C_1 = \dfrac{Q}{\mathcal{E}-U'}$ [0,5 т.] $= \dfrac{Q}{\frac{U'^2}{U''}-U'} = \dfrac{QU''}{U'(U'-U'')} = \dfrac{12\ \mathrm{\mu C}\cdot 1\ \mathrm{V}}{3\ \mathrm{V}(3\ \mathrm{V}-1\ \mathrm{V})}$ [0,5 т.] $= 2\ \mathrm{\mu F}$ . [1 т.]

При първото разреждане (презареждане) на втория кондензатор, зарядът му се променя от $q_2$ до $-q'_2$ , а напрежението на плочите му – от $\mathcal{E}$ до $-U'$ . Следователно $Q = q_2 + q'_2 = C_2(\mathcal{E} + U')$ , [1 т.] откъдето $C_2 = \dfrac{Q}{\mathcal{E}+U'}$ [0,5 т.] $= \dfrac{Q}{\frac{U'^2}{U''}+U'} = \dfrac{QU''}{U'(U'+U'')} = \dfrac{12\ \mathrm{\mu C}\cdot 1\ \mathrm{V}}{3\ \mathrm{V}(3\ \mathrm{V}+1\ \mathrm{V})}$ [0,5 т.] $= 1\ \mathrm{\mu F}$ . [1 т.]

Внимание! (важи за решенията на всички задачи)

За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълния брой точки, посочени за съответното подусловие.

Оригинал в Архива: NOF2_2018_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2018_9solutions.pdf