Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2. Въздушна пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, теоретичен кръг, тема 10.–12. клас (четвърта състезателна група) · 3 април 2018 г. · 15 т.

Условие

По средата на тънка цилиндрична тръба с плътно затворени краища се намира капка живак, както е показано на фиг. 2а. От двете страни на капката има въздух с нормално атмосферно налягане $p_0 = 1{,}0\cdot 10^5$ Pa и с температура $t_0 = 20°\mathrm{C}$ , равна на температурата на околната среда. Дължините на двете пълни с въздух части на тръбата са $\ell_0 = 0{,}50$ m всяка. Дължината на капката живак е $h = 5{,}0$ cm. Приемете, че капката има цилиндрична форма, т.е. двете ѝ свободни повърхности са плоски.

Основни данни:

земно ускорение, $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ;

плътност на живака, $\rho = 1{,}36\cdot 10^4\ \mathrm{kg/m^3}$ .

а) Тръбата бавно се накланя, докато заеме вертикално положение (фиг. 2б). На какво разстояние $x$ спрямо началното си положение ще се премести капката живак? Приемете, че температурата на въздуха остава равна на температурата на околната среда.

Фиг. 2 б. Вертикалната тръба и отместването x.

[7 т.]

б) С колко ( $\Delta t$ ) трябва да се повиши температурата на въздуха в долната част на тръбата, така че капката отново да застане по средата на тръбата? [3 т.]

в) Тръбата е върната в хоризонтално положение (вж. фиг. 2а) и е оставена така, докато температурата на въздуха се изравни с температурата на околната среда. След това тръбата е разклатена за кратко време в хоризонтално направление. Определете честотата $\nu$ , с която капката живак продължава да трепти, след като тръбата е оставена в покой.

Приемете, че:

амплитудата на трептене на капката е много по-малка от дължината на тръбата;
температурата на въздуха в тръбата не се променя при трептенето на капката. [5 т.]

Решение

а) Понеже температурата на въздуха не се променя, прилагаме уравнението на изотермния процес за горната (1) и за долната (2) част на тръбата, съответно:

(1)\qquad p_1(\ell_0 + x)S = p_0\ell_0 S \qquad\textbf{1 точка}

(2)\qquad p_2(\ell_0 - x)S = p_0\ell_0 S \qquad\textbf{1 точка}

където $p_1$ и $p_2$ е налягането на въздуха съответно в горната и в долната част на тръбата, $x$ е отместването на капката живак, а $S$ – площта на напречното сечение на тръбата. Оттук намираме:

(3)\qquad p_1 = \frac{p_0\ell_0}{\ell_0 + x} \qquad\textbf{0,5 точки}

(4)\qquad p_2 = \frac{p_0\ell_0}{\ell_0 - x} \qquad\textbf{0,5 точки}

От условието за равновесие на капката следва, че налягането в долната част на тръбата е сума от налягането на въздуха в горната част и хидростатичното налягане на капката живак:

(5)\qquad \frac{p_0\ell_0}{\ell_0 - x} = \frac{p_0\ell_0}{\ell_0 + x} + \rho g h \qquad\textbf{1 точка}

Така, за определяне на отместването на капката получаваме квадратно уравнение:

(6)\qquad x^2 + \frac{2p_0\ell_0}{\rho g h}x - \ell_0^2 = 0. \qquad\textbf{1 точка}

Физически смисъл има само положителният корен, защото по абсолютна стойност отрицателният корен е по-голям от $\ell_0$ , т.е. капката би се намирала извън тръбата.

(7)\qquad x = \ell_0\left(\sqrt{\left(\frac{p_0}{\rho g h}\right)^2 + 1} - \frac{p_0}{\rho g h}\right) \qquad\textbf{1 точка}

От данните в условието намираме:

(8)\qquad \frac{p_0}{\rho g h} = \frac{1{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}}{1{,}36\cdot 10^4\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}\cdot 0{,}05\ \mathrm{m}} \approx 14{,}7.

Съответно за отместването пресмятаме:

(9)\qquad x \approx 0{,}017\ \mathrm{m} = 1{,}7\ \mathrm{cm}. \qquad\textbf{1 точка}

б) След като капката се върне по средата на тръбата, обемът на въздуха в двете части на тръбата става равен на началния обем, когато тръбата е била хоризонтална. Следователно за въздуха в долната половина може да бъде приложено уравнението за изохорен процес:

(10)\qquad \frac{p_2}{T_0 + \Delta T} = \frac{p_0}{T_0} \qquad\textbf{1 точка}

където $T_0 = 20°\mathrm{C} + 273 = 293\ \mathrm{K}$ е началната абсолютна температура на въздуха, $\Delta T \equiv \Delta t$ е търсеното нарастване на температурата, а $p_2$ – налягането на загретия въздух в долната част на тръбата. Понеже температурата на въздуха в горната част не се променя, следва, че налягането на въздуха в нея става равно на началното налягане $p_0$ . От условието за хидростатично равновесие имаме:

(11)\qquad p_2 = p_0 + \rho g h. \qquad\textbf{1 точка}

Като комбинираме това уравнение с уравнение (10), намираме:

(12)\qquad \Delta T = \frac{T_0\rho g h}{p_0} \approx 20\ \mathrm{K} \equiv 20°\mathrm{C}. \qquad\textbf{1 точка}

в) Да разгледаме малко отместване $x$ на капката вдясно от положението ѝ на равновесие. Понеже температурата на въздуха не се променя, наляганията в двете части се дават с уравнения (3) и (4) съответно, където $p_1$ е налягането в лявата половина, а $p_2$ – в дясната половина. Въздухът в двете части на тръбата упражнява върху капката съответно сили:

(13)\qquad F_1 = p_1 S = \frac{p_0\ell_0 S}{\ell_0 + x} \qquad\textbf{0,5 точки}

(14)\qquad F_2 = p_2 S = \frac{p_0\ell_0 S}{\ell_0 - x} \qquad\textbf{0,5 точки}

които са насочени в противоположни посоки. Лесно се съобразява, че $F_2 > F_1$ , т.е. равнодействащата сила е насочена наляво, и големината ѝ е:

(15)\qquad F = F_2 - F_1 = \frac{2p_0\ell_0 S x}{\ell_0^2 - x^2} \qquad\textbf{1 точка}

Като вземем предвид, че $x \ll \ell_0$ , получаваме приблизително:

(16)\qquad F \approx \frac{2p_0 S}{\ell_0}x \qquad\textbf{0,5 точки}

т.е. за връщащата сила е изпълнен законът на Хук с коефициент на еластичност:

(17)\qquad k = \frac{2p_0 S}{\ell_0} \qquad\textbf{0,5 точки}

Следователно капката ще извършва хармонично трептене с период:

(18)\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}} \qquad\textbf{0,5 точки}

където:

(19)\qquad m = \rho h S \qquad\textbf{0,5 точки}

е масата на капката. Като вземем предвид, че $\nu = 1/T$ , окончателно намираме:

(20)\qquad \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2p_0}{\rho h \ell_0}} \approx 3{,}9\ \mathrm{Hz}. \qquad\textbf{1 точка}

[Бележка от източника: В уравнение (18) оригиналът печата T = 2π√(k/m). Формулата е запазена, включително несъответствието със следващия резултат (20).]

Оригинал в Архива: NOF3_2018_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_10-12solutions.pdf