Съдържание

Условие 4.1. Трептения с малка амплитуда, които не са хармонични (5 т.)4.2. Изкуствен лед (5 т.)4.3. Вълни на водна повърхност Решение

НОФ 2018, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 4 – оценка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, теоретичен кръг, тема 10.–12. клас (четвърта състезателна група) · 3 април 2018 г. · 15 т.

Условие

За решаване на задачата-оценка е необходимо да се разбере същността на разглежданото физично явление, да се формулира прост модел на явлението, да се изберат разумни стойности на физичните величини и да се получи числен резултат, който повече или по-малко съответства на реалността. В много случаи е полезно използването на законите за запазване, основните принципи на физиката, както и съображения за размерност. В последния случай, ако търсената величина се изразява чрез произведение от степени на други величини, мерните единици на двете страни на равенството трябва да съвпадат. Оценката в този случай е с точност до неизвестен безразмерен множител, който обикновено е от порядъка на единица.

4.1. Трептения с малка амплитуда, които не са хармонични (5 т.)

На фиг. 4.1 топче с маса $m$ , което е закачено към пружина с дължина $l$ в неразтегнато вертикално положение, се движи по хоризонтална права. Коефициентът на еластичност на пружината е $k$ , а с $x$ е означено отклонението на топчето от равновесното му положение.

В случай на малки трептения, когато $\left|x/l\right| \ll 1$ , определете зависимостта на периода $T$ от амплитудата $A$ на трептене.

Полезна приближена формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$ , когато $\left|x\right| \ll 1$ , $\alpha$ – реално число.

4.2. Изкуствен лед (5 т.)

От голям съд с вода и лед се взима един литър вода и се поставя във фризер, за да се превърне в лед. Температурата на въздуха в помещението е 27ºC. Оценете минималното количество електроенергия, което трябва да се изразходва за получаването на леда. Известно е, че специфичната топлина на топене на леда е $\lambda = 335\ \mathrm{kJ/kg}$ .

4.3. Вълни на водна повърхност

Повърхността на всяка течност с плътност $\rho$ се стреми да заеме своята равновесна форма основно под влияние на два фактора – действащата върху течността сила на тежестта, дължаща се на земното ускорение $g$ , и силите на повърхностно напрежение, които са определени от коефициента на повърхностно напрежение $\sigma$ . Ако под влияние на външно въздействие повърхността на течността на дадено място се отклони от равновесното си положение, по повърхността на течността възниква вълново движение.

а) Определете зависимостта на скоростта на вълната $u_1$ от дължината на вълната $\lambda$ за т.н. повърхнинни гравитационни вълни, когато съществена за формирането на вълните е само силата на тежестта, а дълбочината на течността е много по-голяма от дължината на вълната и не влияе върху вълните. [1,5 т.]

б) Намерете зависимостта на скоростта на вълната $u_2$ от дължината на вълната $\lambda$ за т.н. капилярни вълни, когато за формирането на вълните е определящо само повърхностното напрежение. [1,5 т.]

в) В общия случай скоростта на вълната $u$ удовлетворява равенството

u^2 = u_1^2 + u_2^2.

Определете характерната дължина на вълната в случая, когато вълните са нито чисто гравитационни, нито чисто капилярни. Направете числена оценка за вода с плътност $\rho = 1\cdot 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ и коефициент на повърхностно напрежение $\sigma \approx 0{,}1\ \mathrm{N/m}$ . Приемете, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . [2 т.]

Решение

4.1.

При отклонение $x$ от равновесното положение тялото с маса $m$ има потенциална енергия, която се определя от удължаването на пружината

\Delta l = \sqrt{l^2+x^2} - l = l\left(\sqrt{1+(x/l)^2}-1\right) \approx \frac{x^2}{2l}. \qquad\textbf{[1 т.]}

За еластична пружина имаме

U(x) = \frac{k}{2}(\Delta l)^2 \approx \frac{k}{8l^2}x^4. \qquad\textbf{[1 т.]}

При движение на тялото се запазва механичната му енергия, която съвпада с максималната потенциална енергия, а така също и с максималната кинетична енергия. Тогава имаме

\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{kA^4}{8l^2}, \qquad\textbf{[1 т.]}

където $A$ е амплитудата на трептене. От последното равенство получаваме

v_{\max} = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{k}{m}}A^2. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

За оценка на периода на трептене $T$ ще използваме движението от крайно дясно до равновесното положение. Това движение е неравномерно, като скоростта на тялото нараства от нула до $v_{\max}$ и се извършва със средна скорост

v_{\mathrm{ср}} = \beta v_{\max},\quad \beta < 1. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Тогава имаме

\frac{T}{4} = \frac{A}{v_{\mathrm{ср}}} \ \rightarrow\ T = \frac{4A}{\beta v_{\max}} = \frac{8}{\beta}\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{l}{A} \sim \frac{1}{A}, \qquad\textbf{[1 т.]}

т.е. периодът $T$ е обратнопропорционален на амплитудата $A$ и намалява с нарастване на амплитудата, когато $(A/l)^2 \ll 1$ .

Възможно е и друго решение, използващо връщаща сила, под действие на която тялото трепти. Ако тялото е отклонено на малък ъгъл $\alpha$ , така че

\sin\alpha \approx \alpha \approx \mathrm{tg}\,\alpha = x/l, \qquad\textbf{[0,5 т.]}

за хоризонталната връщаща сила имаме равенството

F = k\Delta l\sin\alpha \approx k\frac{x^2}{2l}\frac{x}{l} = \frac{kx^3}{2l^2}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Движението от крайно положение до равновесното положение е ускорително. За оценка можем да го разглеждаме като равноускорително, което се извършва извършва под действие на силата

F_{\mathrm{ср}} = \frac{1}{2}F_{\max} \approx \frac{kA^3}{4l^2}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Тогава за постоянното ускорение на тялото с маса $m$ и неговата максимална скорост имаме

a = \frac{F_{\mathrm{ср}}}{m} = \frac{F_{\max}}{2m} \approx \frac{kA^3}{4ml^2}, \qquad\textbf{[0,5 т.]}\qquad \frac{mv_{\max}^2}{2} = F_{\mathrm{ср}}A \ \rightarrow\ v_{\max} = \frac{1}{\sqrt{2}\,l}\sqrt{\frac{k}{m}}A^2 \qquad\textbf{[1 т.]}

За периода получаваме оценката

\frac{T}{4} = \frac{v_{\max}}{a} \ \rightarrow\ T = \frac{4v_{\max}}{a} = 8\sqrt{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{l}{A} \sim \frac{1}{A}. \qquad\textbf{[1 т.]}

Вижда се, че двата подхода дават една и съща зависимост на периода от амплитудата, като стойностите се различават с множител от порядъка на единица.

4.2.

Фризерът е топлинна машина, в която работното вещество получава количество топлина $Q_2$ при температура $T_2 = 273\ \mathrm{K}$ , външният източник (електричен ток) извършва работа $A$ върху работното вещество и то отдава количество топлина $Q_1$ на въздуха в помещението при температура $T_1 = 300\ \mathrm{K}$ . От първия принцип на термодинамиката имаме

Q_1 = A + Q_2. \qquad\textbf{[1 т.]}

При получаването на леда от водата се отнема количество топлина $Q_2 = \lambda m$ [0,5 т.], тъй като температурата на водата е 0ºC. Работата $A$ ще е минимална, когато хладилникът е идеален. В него процесите са с обратна посока на процесите в идеален топлинен двигател, като по големина величините в двете топлинни машини съвпадат [0,5 т.]. Тогава можем да запишем

\eta = \frac{A'}{Q_1} = \frac{A}{A+\lambda m}. \qquad\textbf{[1 т.]}

Тъй като топлинният двигател е идеален, имаме

\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}. \qquad\textbf{[1 т.]}

От приравняването на двата израза за КПД намираме

A = \lambda m\left(\frac{T_1}{T_2}-1\right) \approx 33\ \mathrm{kJ}. \qquad\textbf{[1 т.]}

4.3.

За да намерим зависимостта на скоростта на разпространение на вълните от дължината на вълната ще използваме сравняването на мерните единици на скоростта с определена комбинация на физични величини, от които може да зависи тя в конкретния случай. Като правило полученият резултат се различава от точния с множител от порядъка на единица. Този подход дава добри резултати в случай, когато търсим оценка по порядък.

а) Скоростта на гравитационните вълни може да зависи от земното ускорение $g$ с мерни единици $[g] = \mathrm{m/s^2}$ , от плътността на течността $\rho$ с мерни единици $[\rho] = \mathrm{kg/m^3}$ и от дължината на вълната $\lambda$ с мерни единици $[\lambda] = \mathrm{m}$ . Скоростта можем да запишем във вида

u_1 = C_1 g^a \rho^b \lambda^c. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

По отношение на трите основни основни мерни единици в механиката това равенство трябва да се превърне в тъждество, т.е.

\mathrm{m\cdot s^{-1}} \equiv \mathrm{m}^{a-3b+c}\cdot \mathrm{kg}^{b}\cdot \mathrm{s}^{-2a}, \qquad\textbf{[0,5 т.]}

което означава $a-3b+c=1$ , $b=0$ , $-2a=-1$ , т.е. $a=c=1/2$ , $b=0$ . Следователно:

u_1 = C_1\sqrt{g\lambda} \sim \sqrt{\lambda}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Гравитационните вълни с по-голяма дължина на вълната имат по-голяма скорост.

б) В случай на капилярни вълни скоростта им $u_2$ може да зависи от коефициента на повърхностно напрежение $\sigma$ с мерни единици $[\sigma] = \mathrm{N/m} = \mathrm{kg/s^2}$ , от плътността на течността $\rho$ и от дължината на вълната $\lambda$ , т.е.

u_2 = C_2 \sigma^a \rho^b \lambda^c. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

\mathrm{m\cdot s^{-1}} \equiv \mathrm{m}^{-3b+c}\cdot \mathrm{kg}^{a+b}\cdot \mathrm{s}^{-2a}, \qquad\textbf{[0,5 т.]}

което означава $-3b+c=1$ , $a+b=0$ , $-2a=-1$ , т.е. $a=1/2$ , $b=c=-1/2$ . Следователно:

u_2 = C_2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho\lambda}} \sim \frac{1}{\sqrt{\lambda}}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Капилярните вълни с по-голяма дължина на вълната имат по-малка скорост.

в) В общия случай, когато вълните са нито чисто гравитационни, нито чисто капилярни, имаме

u^2 = C_1^2 g\lambda + C_2^2\frac{\sigma}{\rho\lambda} = \left(C_1\sqrt{g\lambda} - C_2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho\lambda}}\right)^2 + 2C_1C_2\sqrt{\frac{g\sigma}{\rho}}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Скоростта ще има минимална стойност, когато

C_1\sqrt{g\lambda} = C_2\sqrt{\sigma/(\rho\lambda)}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Тогава за дължината на вълната намираме оценката

\lambda_0 = \frac{C_2}{C_1}\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}} \approx \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}} \approx 0{,}3\ \mathrm{cm} \sim 1\ \mathrm{cm}, \qquad\textbf{[0,5 т.]}

а за скоростта на вълната имаме

u_0 = \sqrt{2C_1C_2}\left(\frac{\sigma g}{\rho}\right)^{1/4} \approx \left(\frac{\sigma g}{\rho}\right)^{1/4} \approx 0{,}3\ \mathrm{m/s}. \qquad\textbf{[0,5 т.]}

Така при $\lambda \ll \lambda_0$ вълните са чисто капилярни, при $\lambda \gg \lambda_0$ са гравитационни, а когато $\lambda \sim \lambda_0$ вълните са гравитационно–капилярни.

Оригинал в Архива: NOF3_2018_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_10-12solutions.pdf