Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 7. клас — Задача 1. Стъпка по стъпка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, Тема 7. клас (първа състезателна група) · 3 април 2018 г. · 10 т.

Условие

Когато човек върви, във всеки момент едното му стъпало е на земята, а другото описва крива във въздуха, както е показано на фиг. 1а. От друга страна, при бягането се редуват моменти, когато едното стъпало е на земята, а другото – във въздуха, с моменти, когато и двете стъпала са във въздуха (виж фиг. 1б). И при вървенето, и при бягането дължина на крачката наричаме разстоянието от мястото, където стъпалото на единия крак се отделя от земята, до мястото, където стъпалото на същия крак отново стъпва върху земята. Скоростта, с която човек се придвижва при вървене или бягане, е равна на средната скорост (в хоризонтално направление) на стъпалото му по време на разглежданото движение.

На графиките от фиг. 2а и фиг. 2б е показана височината, до която се вдигат лявото и дясното стъпало при разглежданите движения. Правите участъци отговарят на времето, през което стъпалото се опира в земята, а закривените участъци – на движението на стъпалата във въздуха. Графиките на фиг. 2а се отнасят за малко дете, а тези на фиг. 2б – за възрастен човек. Използваме следните означения:

$\ell_{\mathrm{в}}$ – дължина на крачката на възрастен при вървене;

$\ell_{\mathrm{д}}$ – дължина на крачката на дете при вървене;

$L_{\mathrm{в}}$ – дължина на крачката на възрастен при бягане;

$L_{\mathrm{д}}$ – дължина на крачката на дете при бягане.

Известни са дължините $\ell_{\mathrm{в}} = 1{,}6\ \mathrm{m}$ , $L_{\mathrm{в}} = 2{,}9\ \mathrm{m}$ и отношението $\ell_{\mathrm{в}}/\ell_{\mathrm{д}} = L_{\mathrm{в}}/L_{\mathrm{д}} = 2{,}5$ . И при двете движения – вървене и бягане – за единица време детето прави 1,425 пъти повече крачки отколкото възрастния. Дължината на стъпалото се пренебрегва.

Силуети на вървящ човек в пет последователни фази. — Фиг. 1а — последователни положения при вървене: винаги едното стъпало е на земята.

Силуети на бягащ човек в шест последователни фази. — Фиг. 1б — последователни положения при бягане: има моменти, в които и двете стъпала са във въздуха.

Две графики една под друга; арки с продължителност 0,4 s, редуващи се, с деления 0; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6 s. — Фиг. 2а — височина на лявото и дясното стъпало като функция на времето; деления по оста $t$ през 0,4 s.

Две графики една под друга; по-дълги арки, деления 0; 0,18; 0,36; 0,54; 0,72; 0,9; 1,08; 1,26; 1,44; 1,62; 1,8; 1,98 s. — Фиг. 2б — височина на лявото и дясното стъпало като функция на времето; деления по оста $t$ през 0,18 s.

а) Коя от фигурите (2а или 2б) изобразява вървене и коя – бягане? Обосновете се с не повече от две изречения. [2 т.]

б) Намерете дължините $\ell_{\mathrm{д}}$ и $L_{\mathrm{д}}$ . [1 т.]

в) Определете скоростта на вървене $v_{\mathrm{д,ход}}$ на детето и скоростта на бягане $v_{\mathrm{в,бяг}}$ на възрастния. [3 т.]

г) Намерете скоростта на бягане $v_{\mathrm{д,бяг}}$ на детето и скоростта на вървене $v_{\mathrm{в,ход}}$ на възрастния. [4 т.]

Отговори

Решение

а) Както се вижда на фиг. 2а от условието на задачата, винаги едно от стъпалата се допира до земята, т.е. фиг. 2а изобразява вървене. [1 т.] На фиг. 2б е изобразено бягане, тъй като има времеви отрязъци, в които и двете стъпала са във въздуха, което е характерно за бягането. [1 т.]

б) Знаем, че $\ell_{\mathrm{в}}/\ell_{\mathrm{д}} = L_{\mathrm{в}}/L_{\mathrm{д}} = 2{,}5$ , откъдето следва, че $\ell_{\mathrm{д}} = \frac{\ell_{\mathrm{в}}}{2{,}5} = 0{,}64\ \mathrm{m}$ . [0,5 т.] Аналогично $L_{\mathrm{д}} = \frac{L_{\mathrm{в}}}{2{,}5} = 1{,}16\ \mathrm{m}$ . [0,5 т.]

в) Фиг. 2а от условието изобразява вървящо дете. Ще означим времето, за което дадено стъпало е във въздуха (по време на една крачка), с $t_{\mathrm{д}1} = 0{,}4\ \mathrm{s}$ . [0,2 т.] Времето, за което същото стъпало се допира до земята, е $t_{\mathrm{д}2} = 0{,}4\ \mathrm{s}$ . [0,2 т.] За средната скорост на детето при вървене се получава $v_{\mathrm{д,ход}} = \frac{\ell_{\mathrm{д}}}{t_{\mathrm{д}1}+t_{\mathrm{д}2}} = \frac{0{,}64\ \mathrm{m}}{0{,}8\ \mathrm{s}} = 0{,}8\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

Фиг. 2б илюстрира бягащ възрастен човек. Нека да означим времето, за което дадено стъпало е във въздуха, с $\tau_{\mathrm{в}1} = 0{,}54\ \mathrm{s}$ . [0,3 т.] Времето, за което същото стъпало се допира до земята, е $\tau_{\mathrm{в}2} = 0{,}18\ \mathrm{s}$ . [0,3 т.] За средната скорост на възрастния при бягане се получава $v_{\mathrm{в,бяг}} = \frac{L_{\mathrm{в}}}{\tau_{\mathrm{в}1}+\tau_{\mathrm{в}2}} = \frac{2{,}9\ \mathrm{m}}{0{,}72\ \mathrm{s}} \approx 4{,}03\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

г) Детето прави 1,425 пъти повече крачки от възрастния човек за единица време. Оттук следва, че $\tau_{\mathrm{д}1} + \tau_{\mathrm{д}2} = \frac{\tau_{\mathrm{в}1}+\tau_{\mathrm{в}2}}{1{,}425} = \frac{0{,}72\ \mathrm{s}}{1{,}425} \approx 0{,}505\ \mathrm{s}$ [1 т.], където с $\tau_{\mathrm{д}1}$ сме означили времето, за което дадено стъпало на детето е във въздуха при бягане, а $\tau_{\mathrm{д}2}$ е времето, за което същото стъпало се допира до земята. Оттук $v_{\mathrm{д,бяг}} = \frac{L_{\mathrm{д}}}{\tau_{\mathrm{д}1}+\tau_{\mathrm{д}2}} = \frac{1{,}425 L_{\mathrm{д}}}{\tau_{\mathrm{в}1}+\tau_{\mathrm{в}2}} = \frac{1{,}425 \times 1{,}16\ \mathrm{m}}{0{,}72\ \mathrm{s}} \approx 2{,}3\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

По аналогичен начин имаме, че $t_{\mathrm{в}1} + t_{\mathrm{в}2} = 1{,}425 \times \left(t_{\mathrm{д}1}+t_{\mathrm{д}2}\right) = 1{,}425 \times 0{,}8\ \mathrm{s} = 1{,}14\ \mathrm{s}$ [1 т.], където с $t_{\mathrm{в}1}$ сме означили времето, за което дадено стъпало на възрастния е във въздуха при вървене, а $t_{\mathrm{в}2}$ е времето, за което същото стъпало се допира до земята. Така $v_{\mathrm{в,ход}} = \frac{\ell_{\mathrm{в}}}{t_{\mathrm{в}1}+t_{\mathrm{в}2}} = \frac{1{,}6\ \mathrm{m}}{1{,}14\ \mathrm{s}} \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2018_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_7solutions.pdf