НОФ 2018, III кръг (национален), 7. клас — Задача 2

• Част А: $n \ge \frac{mg}{0{,}75 p_{\mathrm{atm}} S} = \frac{4mg}{3 p_{\mathrm{atm}} S} = 5\tfrac{1}{3} \Rightarrow n_{\min} = 6$

  Най-малкият брой смукала.

• Част Б: $F_{\min} = G,\qquad F'_{\min} = \frac{G}{2}$

Част А: Нека да означим с $n$ търсения брой смукала. От съотношението $p = F/S$ следва, че натискът, който упражнява атмосферният въздух върху всички смукала, има големина $F_{\mathrm{atm}} = n p_{\mathrm{atm}} S$ и е насочен вертикално нагоре. [1,5 т.] Натискът, който упражнява въздухът между смукалата и тавана, е в обратна посока и с големина $F_0 = n p_0 S = 0{,}25 n p_{\mathrm{atm}} S$. [1,5 т.] За да се задържи агентът на тавана, трябва $mg + F_0 \le F_{\mathrm{atm}}$, откъдето $mg \le 0{,}75 F_{\mathrm{atm}} = 0{,}75 n p_{\mathrm{atm}} S$. [2 т.] Оттук следва, че $n \ge \frac{mg}{0{,}75 p_{\mathrm{atm}} S} = \frac{4mg}{3 p_{\mathrm{atm}} S} = 5\frac{1}{3}$, т.е. нужни са най-малко шест смукала. [2 т.]

Част Б: В случая, когато Симеон дърпа Божидара, той трябва да приложи минимална сила $F_{\min} = G$, тъй като макарата е неподвижна. [1 т.] Когато Божидара се издърпва сама, необходимата минимална сила е $F'_{\min} = G/2$, тъй като в този случай люлката и Божидара се държат едновременно на двата края на въжето. [2 т.]