Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 7. клас — Задача 3. Загадката на „черните кутии“

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, Тема 7. клас (първа състезателна група) · 3 април 2018 г. · 10 т.

Условие

Резистор със съпротивление $R$ , волтметър, амперметър и батерия с напрежение $U$ са свързани по начина, показан на фиг. 4. Показанията на измервателните уреди са: 9 V за волтметъра и 0,9 A за амперметъра.

Схема: батерия U, последователно резистор R и амперметър A, волтметър V успоредно на R. — Фиг. 4 — резисторът $R$ с амперметъра последователно, волтметърът успоредно на $R$ , захранвани от батерията $U$ .

а) Намерете стойностите на напрежението $U$ и съпротивлението $R$ . [1 т.]

б) Разполагате също така с пет неизвестни елемента (в неразличими кутии с по два изхода), които ще означим с $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $X_4$ и $X_5$ . Елементите могат да бъдат резистори или батерии. Сред тях има поне една батерия и поне един резистор. За определянето на вида на неизвестните елементи и стойностите на съответните характеризиращи ги величини (съпротивлението за резистори и напрежението за батерии) са конструирани веригите, показани на фигурите по-долу, където неизвестните елементи са свързани успоредно или последователно на резистора със съпротивление $R$ и батерията с напрежение $U$ .

Като използвате дадените вдясно от веригите данни, определете вида на неизвестните елементи ( $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ , $X_4$ , $X_5$ ) и техните съпротивления (за резисторите) или напрежения (за батериите). Обосновете се накратко.

Данните към веригите са:

Верига	Данни
Фиг. 5а	Показанието на амперметъра е 1,35 A.
Фиг. 5б	Отделената мощност в цялата верига е 8,1 W.
Фиг. 5в	Показанието на амперметъра е 0,54 A.
Фиг. 5г	Отделената мощност във веригата е 9,6 W.
Фиг. 5д	Показанието на волтметъра е 4,8 V.

[9 т.]

Схема: батерия U, резистор R, амперметър A и елемент X1 в един контур. — Фиг. 5а — $X_1$ е свързан последователно на $R$ и амперметъра. Показанието на амперметъра е 1,35 A.

Схема: батерия U с успоредно свързани клонове – резистор R и елемент X2. — Фиг. 5б — $X_2$ е свързан успоредно на $R$ и на батерията. Отделената мощност в цялата верига е 8,1 W.

Схема: батерия U, елемент X1 последователно, резистор R, амперметър A и елемент X3. — Фиг. 5в — $X_1$ и $X_3$ са свързани последователно на $R$ и амперметъра. Показанието на амперметъра е 0,54 A.

Схема: батерия U с три успоредни клона – резистор R, елемент X4 и елемент X2. — Фиг. 5г — $X_4$ и $X_2$ са свързани успоредно на $R$ и на батерията. Отделената мощност във веригата е 9,6 W.

Схема: батерия U, елементи X5 и X3 в двата странични клона, резистор R с волтметър V успоредно. — Фиг. 5д — $X_5$ и $X_3$ са в контура с $R$ , а волтметърът е успоредно на $R$ . Показанието на волтметъра е 4,8 V.

Отговори

Решение

а) Напрежението на батерията е равно на напрежението върху резистора, т.е. $U = 9\ \mathrm{V}$ . [0,2 т.] Съпротивлението на резистора се получава от закона на Ом. [0,2 т.] Ако с $I$ означим тока през резистора, то $I = 0{,}9\ \mathrm{A}$ (показанието на амперметъра във веригата на фиг. 4 от условието на задачата). Оттук $R = U/I = 10\ \Omega$ . [0,6 т.]

б) От фиг. 5а се вижда, че елементът $X_1$ е свързан последователно, т.е. общото съпротивление би нараснало, ако $X_1$ е резистор, а измереният ток би намалял в сравнение със случая на фиг. 4. [0,3 т.] Дадено е, че токът нараства, откъдето следва, че $X_1$ е батерия, която е свързана последователно на изходната батерия. [0,2 т.] Търсеното напрежение на батерията е $U_1 = 1{,}35 \times 10\ \mathrm{V} - 9\ \mathrm{V} = 4{,}5\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

Отделената мощност във веригата на фиг. 5б е равна на мощността на тока, ако липсваше елементът $X_2$ : $\frac{U^2}{R} = 8{,}1\ \mathrm{W}$ , т.е. $X_2$ не може да е резистор, тъй като тогава мощността би била по-голяма от отделената мощност във веригата на фиг. 4. [0,5 т.] Оттук следва, че $X_2$ е батерия с напрежение $U_2 = U = 9\ \mathrm{V}$ , тъй като елементът $X_2$ е свързан успоредно на изходната батерия. [0,5 т.]

Нека сега да разгледаме фиг. 5в. Знаем, че $X_1$ е батерия с напрежение $U_1 = 4{,}5\ \mathrm{V}$ . Елементът $X_3$ не може да е батерия, тъй като тогава токът през резистора със съпротивление $R$ щеше да е по-голям от $\frac{U+U_1}{R} = 1{,}35\ \mathrm{A}$ . [0,5 т.] Тъй като токът през амперметъра $I_{\mathrm{A}} = 0{,}54\ \mathrm{A}$ е по-малък, $X_3$ е резистор със съпротивление $R_3 = \frac{U+U_1}{I_{\mathrm{A}}} - R = 15\ \Omega$ . [1 т.]

За веригата на фиг. 5г знаем, че $X_2$ е батерия с напрежение $U_2 = 9\ \mathrm{V}$ . Елементът $X_4$ е свързан успоредно и не може да е батерия, тъй като в този случай се отделя по-голяма мощност, отколкото във веригата на фиг. 5б. [0,5 т.] Следователно $X_4$ е резистор. [0,2 т.] Отделената мощност в двата резистора е $P_{\mathrm{отд}} = \frac{U^2}{R} + \frac{U^2}{R_4} = 9{,}6\ \mathrm{W}$ [0,5 т.], където с $R_4$ сме означили търсеното съпротивление на елемента $X_4$ . Оттук получаваме, че $R_4 = \frac{RU^2}{R P_{\mathrm{отд}} - U^2} = 54\ \Omega$ . [0,8 т.]

Накрая, за веригата на фиг. 5д знаем, че $X_3$ е резистор със съпротивление $R_3 = 15\ \Omega$ . Ако $X_5$ е също резистор, то показанието на волтметъра $U_{\mathrm{V}} = 4{,}8\ \mathrm{V}$ трябва да бъде по-малко от $\frac{RU}{R+R_3} = 3{,}6\ \mathrm{V}$ , което не е изпълнено. [1 т.] Следователно $X_5$ е батерия с напрежение $U_5$ , която е свързана последователно на изходната батерия. [0,5 т.] Така $U_{\mathrm{V}} = \frac{R(U+U_5)}{R+R_3}$ [0,5 т.], откъдето $U_5 = \frac{U_{\mathrm{V}}(R+R_3)}{R} - U = 3\ \mathrm{V}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2018_7problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_7solutions.pdf