НОФ 2018, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Течности

• а) $x = H\left(1 - \frac{\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}}\right) = 1{,}0\ \mathrm{cm}$

• б) $z = \frac{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{б}}H \approx 3{,}7\ \mathrm{cm},\qquad m_\mathrm{б} = \rho_\mathrm{б}S\frac{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{б}}H \approx 1350\ \mathrm{g}$

  $z \approx 3{,}7$ cm; $m_\mathrm{б} \approx 1350$ g.

• в) $y = \frac{\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{о}}H \approx 9{,}8\ \mathrm{cm},\qquad m_\mathrm{о} = \rho_\mathrm{о}Sy = \rho_\mathrm{п}SH = 4500\ \mathrm{g}$

  $y \approx 9{,}8$ cm; $m_\mathrm{о} = 4500$ g.

а) При плаването на парафиновия цилиндър, той е в равновесие. Силата на тежестта му се уравновесява с действащата му Архимедова сила. Нека сечението на стените му е $A$. Тогава $\rho_\mathrm{п}A\cdot H\cdot g = \rho_\mathrm{в}A(H-x)g$. [1 т.] От това уравнение се получава $x = H\left(1 - \frac{\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}}\right)$ [1 т.] $= 10{,}0\ \mathrm{cm}\cdot\left(1 - \frac{0{,}900\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}}{1{,}000\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}}\right) = 1{,}0\ \mathrm{cm}$. [1 т.]

б) Когато във вътрешността на плаващия цилиндър започва да се налива бензин, височината на слоя бензин ще започне да расте, докато горната му повърхност достигне горния ръб на цилиндъра или долната му повърхност достигне долния ръб на цилиндъра. Нека предположим, че първо горната повърхност на бензина достига горния ръб на цилиндъра. Тъй като хидростатичното налягане $p$ на долния ръб на цилиндъра навсякъде е едно и също, то височината $x$ на стърчащата част на цилиндъра също няма да се промени. [0,5 т.] Налягането на долната повърхност на бензина е $p' = \rho_\mathrm{в}(z-x)g = \rho_\mathrm{б}zg$, [0,5 т.] откъдето $z = \frac{\rho_\mathrm{в}}{\rho_\mathrm{б}}(z-x)$. Използвайки резултата от подусловие а), $z = \frac{\rho_\mathrm{в}}{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{б}}x = \frac{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{б}}H$ [0,5 т.] $= \frac{1{,}000\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}-0{,}900\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}}{1{,}000\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}-0{,}730\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}}\cdot 10\ \mathrm{cm} \approx 3{,}7\ \mathrm{cm}$. [0,5 т.] Масата на бензина е $m_\mathrm{б} = \rho_\mathrm{б}Sz = \rho_\mathrm{б}S\frac{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}-\rho_\mathrm{б}}H$ [0,5 т.] $= 0{,}730\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\cdot 500\ \mathrm{cm^2}\cdot 3{,}7\ \mathrm{cm} \approx 1350\ \mathrm{g}$. [0,5 т.]

в) Когато във вътрешността на плаващия цилиндър започва да се налива олио, височината на слоя олио ще започне да расте, докато горната му повърхност достигне горния ръб на цилиндъра или долната му повърхност достигне долния ръб на цилиндъра. Нека предположим, че първо долната повърхност на олиото достига долния ръб на цилиндъра. Тъй като хидростатичното налягане $p$ на долния ръб на цилиндъра навсякъде е едно и също, то височината $x$ на стърчащата част на цилиндъра също няма да се промени. [0,5 т.] Тогава $p = \rho_\mathrm{в}(H-x)g = \rho_\mathrm{о}yg$, [0,5 т.] откъдето $y = \frac{\rho_\mathrm{в}}{\rho_\mathrm{о}}(H-x)$. [0,5 т.] Използвайки резултата от подусловие а), $y = \frac{\rho_\mathrm{в}}{\rho_\mathrm{о}}\left[H - H\left(1-\frac{\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{в}}\right)\right] = \frac{\rho_\mathrm{п}}{\rho_\mathrm{о}}H$ [1 т.] $= \frac{0{,}900\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}}{0{,}920\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}}\cdot 10\ \mathrm{cm} \approx 9{,}8\ \mathrm{cm}$. [0,5 т.] Масата на олиото е $m_\mathrm{о} = \rho_\mathrm{о}Sy = \rho_\mathrm{п}SH$ [0,5 т.] $= 0{,}900\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}\cdot 500\ \mathrm{cm^2}\cdot 10\ \mathrm{cm} = 4500\ \mathrm{g}$. [0,5 т.]