Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Хлъзгане

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, тема 8. клас (втора състезателна група) · 3 април 2018 г. · 10 т.

Условие

Малко тяло с маса $m = 10{,}0$ g се хлъзга по две наклонени равнини (и двете сключващи ъгъл $\alpha = 30°$ с хоризонта) и хоризонтален участък с дължина $L = 27{,}0$ cm (виж фигурата, мащабите не са спазени!). Земното ускорение е $g = 10{,}0$ m/s $^2$ .

Първоначално тялото се намира в покой на височина $h_1 = 270{,}0$ cm над хоризонталния участък. След като се хлъзга по наклонената равнина, то преминава хоризонталния участък, започва да се изкачва по отсрещната (лявата) наклонена равнина и там спира на височина $h_2 = 81{,}0$ cm над хоризонталния участък. Хлъзгането се повтаря и третото спиране на тялото на дясната равнина е на височина $h_3 = 18{,}0$ cm. Когато се движи по наклонените равнини, му действа сила на триене $F_1$ . Когато се движи по хоризонталния участък, му действа сила на триене $F_2$ .

Схема на две наклонени равнини, свързани с хоризонтален участък с дължина L, с тяло в горния десен край на височина h1 и означени височини h2 и h3. — Двете наклонени равнини под ъгъл $\alpha$ с хоризонта и хоризонталният участък с дължина $L$ ; означени са височините $h_1$ , $h_2$ и $h_3$ (мащабите не са спазени).

а) Получете формула и изчислете стойността на силата на триене $F_1$ . [2,5 т.]

б) Получете формула и изчислете стойността на силата на триене $F_2$ . [2,5 т.]

в) Изчислете стойността на коефициента на триене $k$ за хоризонталния участък. [0,5 т.]

г) Къде върху хоризонталния участък (на какво разстояние $x$ от десния му край) ще спре тялото? [1 т.]

д) Каква е била максималната скорост $v_{max}$ на тялото по време на неговото движение? [1,5 т.]

е) Ако направим нов опит и този път поставим тялото върху дясната наклонена равнина на височина $h_1' = 90{,}0$ cm, на каква височина $h_2'$ (в cm) върху отсрещната наклонена равнина ще спре тялото? [2 т.]

Отговори

Решение

а) Заради извършваната работа от силите на триене, механичната енергия на тялото постоянно ще намалява. Промяната на потенциалната енергия между мястото, от където е тръгнало тялото, и мястото на второто му спиране, е равна на работата, извършена от силите на триене:

(1)\quad mg(h_1-h_2) = F_1(2h_1+2h_2) + F_2L \quad \textbf{[0,5 т.]}

(използва се фактът, че в правоъгълен триъгълник с ъгъл $30°$ хипотенузата е два пъти по-дълга от по-малкия катет). По същия начин за промяната на механичната енергия между второто и третото спиране може да се напише

(2)\quad mg(h_2-h_3) = F_1(2h_2+2h_3) + F_2L \quad \textbf{[0,5 т.]}

Изваждайки уравнение (2) от (1), се получава $F_1 = \frac{mg(h_1-2h_2+h_3)}{2(h_1-h_3)}$ . [1 т.] След заместване с дадените стойности, $F_1 = \frac{10\cdot 10^{-3}\ \mathrm{g}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}(2{,}70\ \mathrm{m}-2\cdot 0{,}81\ \mathrm{m}+0{,}18\ \mathrm{m})}{2(2{,}70\ \mathrm{m}-0{,}18\ \mathrm{m})} = 25\ \mathrm{mN}$ . [0,5 т.]

б) За да се получи формула за силата $F_2$ , се използват отново ур-я (1) и (2). Ако (1) се умножи по $(2h_2+2h_3)$ , а (2) – по $(2h_1+2h_2)$ , и след това се извадят, след съкращаване на еднаквите събираеми се получава $F_2 = \frac{2mg(h_2^2-h_1h_3)}{L(h_1-h_3)}$ . [2 т.] След заместване с дадените стойности $F_2 = \frac{2\cdot 10\cdot 10^{-3}\ \mathrm{g}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}\left((0{,}81\ \mathrm{m})^2-2{,}70\ \mathrm{m}\cdot 0{,}18\ \mathrm{m}\right)}{0{,}27\ \mathrm{m}\cdot(2{,}70\ \mathrm{m}-0{,}18\ \mathrm{m})} = 50\ \mathrm{mN}$ . [0,5 т.]

в) Коефициентът на триене $k$ за хоризонталния участък е $k = \frac{F_2}{mg} = \frac{2(h_2^2-h_1h_3)}{L(h_1-h_3)} = \frac{50\ \mathrm{mN}}{10\cdot 10^{-3}\ \mathrm{g}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}} = 0{,}50$ . [0,5 т.]

г) Нека предположим, че тялото няма да успее да се качи отново по лявата наклонена равнина, а преди това ще спре върху хоризонталния участък. Тогава от промяната на механичната енергия следва $mgh_3 = F_12h_3 + F_2x$ , [0,5 т.] откъдето $x = \frac{mgh_3-F_12h_3}{F_2}$ . Използвайки получените вече формули за $F_1$ и $F_2$ , след опростяване $x = \frac{Lh_3(h_2-h_3)}{h_2^2-h_1h_3} = 18{,}0\ \mathrm{cm}$ . [0,5 т.]

д) Максималната скорост $v_{max}$ на тялото по време на неговото движение е в началото на хоризонталния участък след първото спускане по дясната наклонена равнина. Тогава от промяната на механичната енергия следва $mgh_1 = \frac{mv_{max}^2}{2} + F_12h_1$ , [0,5 т.] откъдето $v_{max} = \sqrt{\frac{2h_1}{m}(mg-2F_1)} = 2\sqrt{\frac{gh_1(h_2-h_3)}{(h_1-h_3)}} = \sqrt{27}\ \mathrm{m/s} \approx 5{,}20\ \mathrm{m/s}$ . [1 т.]

е) Ако поставим тялото върху дясната наклонена равнина на височина $h_1' = 90{,}0$ cm и то спре на височина $h_2'$ върху отсрещната наклонена равнина, то от промяната на механичната енергия следва $mgh_1' = mgh_2' + F_1(2h_1'+2h_2') + F_2L$ , [1 т.] откъдето $h_2' = \frac{(mg-2F_1)h_1'-F_2L}{mg+2F_1}$ [0,5 т.] $= \frac{\left(10\cdot 10^{-3}\ \mathrm{g}\cdot 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}-2\cdot 25\ \mathrm{mN}\right)0{,}90\ \mathrm{m}-50\ \mathrm{mN}\cdot 0{,}27\ \mathrm{m}}{10\cdot 10^{-3}\ \mathrm{g}\cdot 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}+2\cdot 25\ \mathrm{mN}} = 21{,}0\ \mathrm{cm}$ . [0,5 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2018_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_8solutions.pdf