НОФ 2018, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Спортна кола

• а) $a_1 = \frac{v_0}{t_0} = 10\ \mathrm{m/s^2},\qquad a_2 = \frac{v_0^2}{2s_0} = 5\ \mathrm{m/s^2}$

  $a_1 = 10$ m/s², $a_2 = 5$ m/s².

• б) $v_{max1} = \sqrt{\frac{2l}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}}} = 40\ \mathrm{m/s} = 144\ \mathrm{km/h}$

  Равно на 144 km/h.

• в) $D = \frac{v_{max2}^2}{2}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right) = 1215\ \mathrm{m}$

• г) $T = t_1+t_2+t_3 = 9\ \mathrm{s} + 18\ \mathrm{s} + 9{,}5\ \mathrm{s} = 36{,}5\ \mathrm{s}$

а) При равноускорително движение $v_0 = a_1 \cdot t_0$, [0,5 т.] откъдето $a_1 = \frac{v_0}{t_0} = \frac{30\ \mathrm{m/s}}{3\ \mathrm{s}} = 10\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.] Ускорението $a_2$ при спиране е свързано с началната скорост и спирачния път така: $a_2 = \frac{v_0^2}{2s_0}$ [0,5 т.] $= \frac{(30\ \mathrm{m/s})^2}{2\cdot 90\ \mathrm{m}} = 5\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.]

б) До достигане на максималната скорост $v_{max1}$ колата ще измине път $l_1 = \frac{v_{max1}^2}{2a_1}$. [0,5 т.] Спирачният ѝ път от тази скорост е $l_2 = \frac{v_{max1}^2}{2a_2}$. [0,5 т.] Тъй като $l_1 + l_2 = l$, [0,5 т.] то

[1 т.]

в) Използваме получената формула от предното подусловие и я решаваме спрямо дължината на пистата. Тогава $D = \frac{v_{max2}^2}{2}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)$, [1 т.] $= \frac{(90\ \mathrm{m/s})^2}{2}\left(\frac{1}{10\ \mathrm{m/s^2}}+\frac{1}{5\ \mathrm{m/s^2}}\right) = 1215\ \mathrm{m}$. [1 т.]

г) Общото време $T$ е сума на времената $t_1$, $t_2$ и $t_3$, за които колата се движи съответно равноускорително, равномерно с максималната скорост и равнозакъснително. $t_1 = \frac{v_{max2}}{a_1} = \frac{90\ \mathrm{m/s}}{10\ \mathrm{m/s^2}} = 9\ \mathrm{s}$. [0,5 т.] $t_3 = \frac{v_{max2}}{a_2} = \frac{90\ \mathrm{m/s}}{5\ \mathrm{m/s^2}} = 18\ \mathrm{s}$. [0,5 т.] Разстоянието, което колата изминава равномерно, е $L - D$ [0,5 т.] за време $t_2 = \frac{L-D}{v_{max2}} = \frac{2070\ \mathrm{m} - 1215\ \mathrm{m}}{90\ \mathrm{m/s}} = 9{,}5\ \mathrm{s}$. [1 т.] Общото време е $T = t_1+t_2+t_3 = 9\ \mathrm{s} + 18\ \mathrm{s} + 9{,}5\ \mathrm{s} = 36{,}5\ \mathrm{s}$. [0,5 т.]