Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Електричен разряд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, Тема 9. клас (трета състезателна група) · 3 април 2018 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Преди Задача 1 темата отпечатва блок с физични константи, който важи и за трите задачи: константа в закона на Кулон $k = 9{,}0.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ ; елементарен електричен заряд $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; земно ускорение $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Условие

Протичането на електричен ток в газове се нарича електричен разряд. Електричен разряд във въздуха възниква, когато интензитетът $E$ на електричното поле стане равен или по-голям от определена гранична стойност $E_0 = 3{,}0.10^6\ \mathrm{N/C}$ ., т.е. когато $E \geq E_0$ .

Снимка на „Огъня на Свети Елм“ — светъл пръстеновиден ореол около тъмно кръгло тяло. — Фиг. 2 а

Снимка на електрическа искра между топчетата на електростатична машина — ярка светеща нишка от йонизиран въздух. — Фиг. 2 б

а) „Огънят на Свети Елм“ (фиг. 2 а) е слабо синкаво сияние около наелектризирани метални предмети поради електричен разряд във въздуха около тях. Какъв минимален положителен заряд $q$ трябва да бъде придаден на метално топче с радиус $r = 3\ \mathrm{mm}$ така, че около него да възникне сияние на Свети Елм? На колко е равен потенциалът $\varphi$ на топчето, когато сиянието „светва“? [4 т.]

б) Електричната искра (фиг. 2 б) е друг вид електричен разряд, възникващ около тела, между които има голямо електрично напрежение. Искрата е ярко светеща „нишка“ от йонизиран въздух, по който между телата протича електричен ток. На фиг. 2б е показана искра между топчетата на електростатична машина, които са заредени с равни по големина и противоположни по знак заряди $+q$ и $-q$ , съответно. Топчетата са с радиус $r = 1\ \mathrm{cm}$ , а разстоянието между центровете им е $d = 5\ \mathrm{cm}$ . Приемете, че зарядите са разпределени равномерно по повърхността на топчетата.

За да прескочи искра между топчетата е нужно условието $E \geq E_0$ да бъде изпълнено във въздуха по цялата отсечка, свързваща центровете им. Колко е минималната големина $q$ на заряда върху топчетата, при който между тях прескача искра? [3 т.]

• Колко е напрежението $U$ между топчетата при прескачането на искрата?

Упътване. Заряди, разпределени равномерно по повърхността на сфера, създават около сферата електрично поле, еквивалентно на полето на точков заряд, намиращ се в центъра на сферата. [3 т.]

Отговори

Решение

а) За да възникне разряд около топчето е нужно интензитетът на електричното поле на повърхността му да бъде равен на критичното поле:

(1)\qquad \frac{kq}{r^2} = E_0 \qquad \textbf{[1 точка]}

Следователно:

(2)\qquad q = \frac{E_0 r^2}{k} \qquad \textbf{[1 точка]}

Като заместим с числените данни, намираме:

(3)\qquad q = \frac{3.10^6\ \mathrm{N/C} . (3.10^{-3}\,\mathrm{m})^2}{9.10^9\,\mathrm{N.m^2/C^2}} = 3.10^{-9}\ \mathrm{C}. \qquad \textbf{[1 точка]}

Потенциалът на топчето е съответно:

(4)\qquad \varphi = \frac{kq}{r} = E_0 r = 9000\ \mathrm{V}. \qquad \textbf{[1 точка]}

б) Понеже интензитетът на полето е най-малък по средата между двете топчета, искрата възниква, когато $E = E_0$ в средната точка. [0,5 точки]

Средната точка е отдалечена на равни разстояния $d/2$ от центровете на топчетата. Затова те създават електрични полета с еднакви интензитети:

(5)\qquad E_1 = E_2 = \frac{kq}{(d/2)^2} = \frac{4kq}{d^2} \qquad \textbf{[0,5 точки]}

От принципа на суперпозицията следва, че пълният интензитет по средата между топчетата е:

(6)\qquad E = E_1 + E_2 = \frac{8kq}{d^2} \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Следователно искра възниква, когато:

(7)\qquad \frac{8kq}{d^2} = E_0 \qquad \textbf{[0,5 точки]}

т.е. при заряд на топчетата:

(8)\qquad q = \frac{E_0 d^2}{8k} \approx 1.10^{-7}\ \mathrm{C}. \qquad \textbf{[1 точка]}

Потенциалът на положително зареденото топче е сума от потенциала, създаден от зарядите върху него, и потенциала, създаден от зарядите върху отрицателното топче:

(9)\qquad \varphi_1 = \frac{kq}{r} - \frac{kq}{d}, \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Аналогично потенциалът на отрицателно зареденото топче е:

(10)\qquad \varphi_2 = -\frac{kq}{r} + \frac{kq}{d}. \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Напрежението между топчетата е равно на разликата на техните потенциали:

(11)\qquad U = \varphi_1 - \varphi_2 = 2kq\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}\right). \qquad \textbf{[1 точка]}

Като заместим с израза (8) за заряда на топчетата, намираме:

(12)\qquad U = \frac{E_0 d(d - r)}{4r} = 150\,000\ \mathrm{V}\ (150\ \mathrm{kV}). \qquad \textbf{[1 точка]}

Оригинал в Архива: NOF3_2018_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_9solutions.pdf