Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 9. клас — Задача 3. Наелектризирани мъниста

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, Тема 9. клас (трета състезателна група) · 3 април 2018 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Преди Задача 1 темата отпечатва блок с физични константи, който важи и за трите задачи: константа в закона на Кулон $k = 9{,}0.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ ; елементарен електричен заряд $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; земно ускорение $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Условие

Две мъниста са нанизани на тънка вертикална спица от изолиращ материал. Долното мънисто е закрепено неподвижно, а горното може да се хлъзга по спицата без триене. Масата на горното мънисто е $m = 0{,}1\ \mathrm{g}$ . Мънистата са наелектризирани с еднакви положителни заряди $q$ .

Вертикална спица с две мъниста, всяко означено с q; двупосочна стрелка между тях означава разстоянието h. — Двете мъниста със заряд $q$ , нанизани на вертикалната спица; $h$ е височината на горното мънисто над долното.

а) Определете заряда $q$ на мънистата, ако е известно, че горното мънисто се намира в равновесие на височина $h_0 = 3\ \mathrm{cm}$ над долното мънисто. [1,5 т.]

б) Горното мънисто е издигнато на височина $h_1 = 5\ \mathrm{cm}$ над долното мънисто и е оставено да се движи по спицата с нулева начална скорост. До каква максимална скорост $v_\mathrm{max}$ се ускорява горното мънисто? [5 т.]

в) Колко е минималната височина $h_2$ , която достига горното мънисто? [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) От условието за равновесие на горното мънисто намираме:

(1)\qquad mg = \frac{kq^2}{h_0^2} \qquad \textbf{[0,5 точки]}

откъдето определяме:

(2)\qquad q = h_0\sqrt{\frac{mg}{k}} = 1.10^{-8}\ \mathrm{C} \qquad \textbf{[1 точка]}

б) При движение на горното мънисто пълната му механична енергия се запазва, защото не му действа сила на триене. В началното положение мънистото има гравитационна потенциална енергия:

(3)\qquad mgh_1 \qquad \textbf{[0,5 точки]}

и електрична потенциална енергия:

(4)\qquad \frac{kq^2}{h_1} = \frac{mgh_0^2}{h_1} \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Понеже началната кинетична енергия на мънистото е нула, следва, че пълната му механична енергия е равна на началната му потенциална енергия:

(5)\qquad E = W_1 = mgh_1 + \frac{mgh_0^2}{h_1} \qquad \textbf{[1 точка]}

Мънистото се ускорява надолу, докато силата на тежестта е по-голяма от електростатичната сила. Следователно мънистото достига максимална скорост, когато минава през равновесното си положение, т.е. на височина $h_0$ . [0,5 точки]

Потенциалната енергия на мънистото в равновесното му положение е:

(6)\qquad W_0 = mgh_0 + \frac{kq^2}{h_0} = 2mgh_0 \qquad \textbf{[1 точка]}

От закона за запазване на енергията следва, че:

(7)\qquad \frac{mv_\mathrm{max}^2}{2} + 2mgh_0 = mgh_1 + \frac{mgh_0^2}{h_1} \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Така намираме:

(8)\qquad v_\mathrm{max} = (h_1 - h_0)\sqrt{2\frac{g}{h_1}} \approx 0{,}4\ \mathrm{m/s} \qquad \textbf{[1 точка]}

в) В най-ниската точка скоростта на мънистото, а следователно и кинетичната му енергия, отново е нула. [0,5 точки]

Следователно потенциалната енергия на мънистото в най-ниското му положение е равна на пълната му механична енергия:

(9)\qquad E = W_2 = mgh_2 + \frac{kq^2}{h_2} = mgh_2 + \frac{mgh_0^2}{h_2} \qquad \textbf{[0,5 точки]}

От равенствата (5) и (9) следва, че височините $h_1$ и $h_2$ са двата корена на уравнението:

(10)\qquad E = mgx + \frac{mgh_0^2}{x}

или

(11)\qquad mgx^2 - Ex + mgh_0^2 = 0 \qquad \textbf{[1 точка]}

От формулите на Виет следва, че:

(12)\qquad h_1h_2 = h_0^2 \qquad \textbf{[0,5 точки]}

откъдето намираме:

(13)\qquad h_2 = \frac{h_0^2}{h_1} = 1{,}8\ \mathrm{cm} \qquad \textbf{[1 точка]}

Оригинал в Архива: NOF3_2018_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_9solutions.pdf