Съдържание

НОФ 2018, III кръг (национален), 9. клас — Задача 1. Реален амперметър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2018

Национална олимпиада по физика 2018, национален кръг, Тема 9. клас (трета състезателна група) · 3 април 2018 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Преди Задача 1 темата отпечатва блок с физични константи, който важи и за трите задачи: константа в закона на Кулон $k = 9{,}0.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ ; елементарен електричен заряд $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; земно ускорение $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Условие

И в трите задачи можете да използвате следните стойности на физичните константи:

константа в закона на Кулон: $k = 9{,}0.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ ;
елементарен електричен заряд: $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ;
земно ускорение: $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

В училищните задачи по физика обикновено приемате идеализацията, че амперметърът е уред с нулево електрично съпротивление. Реалните амперметри обаче имат определено вътрешно съпротивление, зависещо от конкретния модел амперметър. Затова във веригата реалният амперметър следва да се разглежда като консуматор с определено съпротивление. На фиг. 1 е показана електрическа схема на верига, която се захранва от източник с ЕДН $\mathcal{E} = 15\ \mathrm{V}$ и с пренебрежимо вътрешно съпротивление. Успоредно на резистора $R_0$ може да се свързват различен брой еднакви резистори, със съпротивление $R$ всеки. На графиката с кръгчета са нанесени показанията на амперметъра, измерващ тока $I$ във веригата, в зависимост от броя $N$ на допълнително свързаните резистори.

Вляво: схема на верига с източник, амперметър A, резистор R0 и N успоредно свързани резистора R. Вдясно: графика на I (A) от 0,00 до 0,35 срещу N от 0 до 15; точките растат от 0,10 A при N = 0 до около 0,30 A при N = 15. — Фиг. 1 — електрическата схема (амперметър $A$ , резистор $R_0$ и $N$ успоредно свързани резистора $R$ ) и графиката на тока $I$ в зависимост от броя $N$ .

а) Получете израз за еквивалентното съпротивление $R_\mathrm{екв}$ на веригата чрез съпротивленията $R_0$ и $R$ на резисторите, съпротивлението $R_\mathrm{A}$ на амперметъра и броя $N$ на допълнително свързаните резистори. [3 т.]

б) Като използвате данните от графиката, определете приблизително неизвестните съпротивления $R_0$ , $R$ и $R_\mathrm{A}$ . Закръглете крайните отговори към числа, кратни на $10\ \Omega$ . [7 т.]

Отговори

Решение

а) Групата от успоредно свързани резистори е еквивалентна на консуматор със съпротивление $R'$ , такова че:

(1)\qquad \frac{1}{R'} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R} + \cdots + \frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{N}{R}. \qquad \textbf{[1 точка]}

Следователно:

(2)\qquad R' = \frac{R_0R}{NR_0 + R}. \qquad \textbf{[1 точка]}

Групата от резистори е свързана последователно на амперметъра. Следователно еквивалентното съпротивление на веригата е:

(3)\qquad R_\mathrm{екв} = R_\mathrm{A} + R' = R_\mathrm{A} + \frac{R_0R}{NR_0 + R}. \qquad \textbf{[1 точка]}

б) Според закона на Ом токът във веригата е:

(4)\qquad I = \frac{\mathcal{E}}{R_\mathrm{екв}}. \qquad \textbf{[1 точка]}

Когато не е свързан нито един допълнителен резистор ( $N = 0$ ), еквивалентното съпротивление на веригата е:

(5)\qquad R_\mathrm{екв} = R_\mathrm{A} + R_0. \qquad \textbf{[0,5 точки]}

От графиката се вижда, че при $N = 0$ токът във веригата е $I = 0{,}10\ \mathrm{A}$ . [0,5 точки] Следователно:

(6)\qquad R_\mathrm{A} + R_0 = \frac{15\ \mathrm{V}}{0{,}1\ \mathrm{A}} = 150\ \Omega. \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Вижда се също така, че при голям брой допълнителни резистори токът във веригата е практически постоянен: $I \approx 0{,}29\ \mathrm{A}$ . [0,5 точки] Както следва от формула (3), при голям брой успоредно свързани резистори еквивалентното им съпротивление става пренебрежимо спрямо съпротивлението на амперметъра. Следователно при големи $N$ :

(7)\qquad R_\mathrm{A} \approx R_\mathrm{екв} = \frac{15\ \mathrm{V}}{0{,}29\ \mathrm{A}} \approx 50\ \Omega. \qquad \textbf{[1 точка]}

Като използваме резултата от уравнение (6), намираме:

(8)\qquad R_0 \approx 100\ \Omega. \qquad \textbf{[0,5 точки]}

За да определим съпротивлението $R$ на допълнителните резистори, е достатъчно да определим от графиката еквивалентното съпротивление на веригата за една конкретна стойност на $N$ . Например при $N = 1$ имаме: $I \approx 0{,}225\ \mathrm{A}$ [0,5 точки] Следователно:

(9)\qquad R_\mathrm{екв}(1) \approx \frac{15\ \mathrm{V}}{0{,}225\ \mathrm{A}} \approx 66{,}7\ \Omega. \qquad \textbf{[0,5 точки]}

От друга страна:

(10)\qquad R_\mathrm{екв}(1) = R_\mathrm{A} + \frac{R_0R}{R_0 + R}. \qquad \textbf{[0,5 точки]}

Като решим това уравнение, намираме:

(11)\qquad R = \frac{(R_\mathrm{екв}(1) - R_\mathrm{A})R_0}{R_0 + R_\mathrm{A} - R_\mathrm{екв}(1)} \approx 20\ \Omega. \qquad \textbf{[1 точка]}

Оригинал в Архива: NOF3_2018_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2018_9solutions.pdf