Съдържание

НОФ 2019, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Куршум и пясък

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2019

Олимпиада по физика 2019, областен кръг, тема за четвърта състезателна група (10. – 12. клас) · 5 февруари 2019 г. · 10 т.

Условие

Куршум с маса $m = 10$ g, движещ се с начална скорост $v_0 = 500$ m/s, попада в голяма купчина пясък и спира, след като изминава разстояние $l = 20$ cm в пясъка. Можете да приемете, че в пясъка на куршума действа постоянна по големина сила на съпротивление в посока, противоположна на посоката на движение на куршума.

Упътване. И в трите подусловия куршумът е изстрелян хоризонтално и действието на силата на тежестта върху него може да се пренебрегне. В подточка г) е достатъчно да дадете само числен отговор.

а) Колко е големината $f$ на силата на съпротивление? [2,5 т.]

б) Куршумът е изстрелян към неподвижно закрепена кутия с широчина $d = 10$ cm, пълна с пясък. Стените на кутията са много тънки и не оказват влияние върху движението на куршума. С каква скорост $v_1$ куршумът ще излезе от кутията? [2 т.]

в) За колко време $t$ куршумът минава през кутията? [3 т.]

г) Кутията с пясък е поставена върху гладка хоризонтална повърхност, по която може да се хлъзга без триене, и куршумът е изстрелян в кутията. Общата маса на кутията и пясъка е $M = 1$ kg. С каква скорост $v_2$ ще се движи кутията, след като куршумът излезе от нея? [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) Докато куршумът спре в купчината пясък, силата на съпротивление извършва работа:

A = -fl.

[0,5 точки]

Упътване. Ако в израза за работата не е отчетен знакът „минус“, се отнемат 0,5 точки.

Промяната на кинетичната енергия на куршума, докато спре, е:

\Delta E_k = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}.

[0,5 точки]

Упътване. Ако в израза за $\Delta E_k$ не е отчетен знакът „минус“, се отнемат 0,5 точки.

От условието:

\Delta E_k = A,

[0,5 точки]

намираме силата на съпротивление:

f = \frac{mv_0^2}{2l} = 6250\ \mathrm{N}.

[1 точка]

б) Промяната на кинетичната енергия на куршума, докато се движи в пясъка, е:

\Delta E_k = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}.

[0,5 точки]

Упътване. Ако в израза за $\Delta E_k$ са разменени местата на началната и на крайната скорост, се отнемат 0,5 точки.

От условието $\Delta E_k = A$ получаваме:

\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = -fd.

[0,5 точки]

Упътване. Ако в израза за работата не е отчетен знакът „минус“, се отнемат 0,5 точки.

Оттук намираме скоростта, с която куршумът излиза от кутията:

v_1 = \sqrt{v_0^2 - \frac{2fd}{m}} = v_0\sqrt{1 - \frac{d}{l}} \approx 354\ \mathrm{m/s}.

[1 точка]

в) От II принцип на Нютон следва, че в кутията куршумът се движи равнозакъснително с ускорение:

a = f/m.

[0,5 точки]

За време $t$ , за което куршумът минава през кутията, той изминава път, равен на широчината $d$ на кутията. От закона за равнозакъснително движение имаме:

d = v_0t - \frac{at^2}{2} = v_0t - \frac{ft^2}{2m} = v_0t - \frac{v_0^2t^2}{4l}.

[0,5 точки]

За определяне на времето, получаваме квадратно уравнение, което има два корена:

t_{1,2} = \frac{2l}{v_0}\left(1 \pm \sqrt{1-\frac{d}{l}}\right)

[0,5 точки]

Коренът, който има физически смисъл може, да бъде избран, като се разгледа частният случай $d = 0$ . Очевидно в този случай времето за преминаване на куршума през кутията е нула, което съответства на корена със знак „–“. [0,5 точки]

Така получаваме окончателния резултат:

t = \frac{2l}{v_0}\left(1-\sqrt{1-\frac{d}{l}}\right) \approx 2{,}3.10^{-4}\ \mathrm{s}.

[1 точка]

Алтернативно решение. Тъй като на куршума действа постоянна сила, той се движи равнозакъснително. [0,5 точки]

При равнопроменливо движение средната скорост е средно аритметично на началната и на крайната скорост:

v_{\mathrm{ср}} = \frac{v_0 + v_1}{2} = \frac{v_0}{2}\left(1 + \sqrt{1-\frac{d}{l}}\right).

[1 точка]

От определението за средна скорост:

v_{\mathrm{ср}} = \frac{d}{t}

[0,5 точки]

следва:

t = \frac{2d}{v_0\left(1 + \sqrt{1 - d/l}\right)} \approx 2{,}3.10^{-4}\ \mathrm{s}.

[1 точка]

Важно уточнение. Изразите за времето, получени по двата метода, са еквивалентни и трябва да бъдат признати като верни отговори. Първият израз може да се получи от втория израз, ако дробта се рационализира, т.е. числителят и знаменателят се умножат с $1 - \sqrt{1 - d/l}$ .

г) От III принцип на Нютон следва, че на кутията действа същата по големина сила $f$ в посоката на движение на куршума. [1 точка] Следователно кутията се движи с ускорение:

a_2 = \frac{f}{M} = 6250\ \mathrm{m/s^2}.

[0,5 точки]

Тъй като кутията има маса, много по-голяма от масата на куршума, нейното ускорение е много по-малко от това на куршума. Следователно може да се приеме, че куршумът минава през кутията за същото време $t$ , както, когато кутията е била неподвижна. Оттук следва, че:

v_2 = a_2t \approx 1{,}4\ \mathrm{m/s}.

[1 точка]

Оригинал в Архива: NOF2_2019_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2019_10-12solutions.pdf