Съдържание

НОФ 2019, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Генератор на ван дер Грааф

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2019

Олимпиада по физика 2019, областен кръг, тема за четвърта състезателна група (10. – 12. клас) · 5 февруари 2019 г. · 10 т.

Условие

Генераторът на ван дер Грааф (фиг. 2, а) е електростатична машина, с чиято помощ може да се получат електрични напрежения до милиони волтове. Генераторът и до днес се използва в някои ядрени лаборатории като ускорител на протони или по-тежки йони. Генераторът се състои от куха метална сфера 1 с радиус $R = 60$ cm, която е свързана към метална „четка“ 2, която се трие във въртящ се гумен ремък 3. Поради триенето между четката и ремъка, върху ремъка се натрупват електрони, а върху повърхността на металната сфера – същото количество положителен заряд. Електроните от ремъка се „отвеждат“ към земята посредством втора заземена четка 4 (вж. фиг. 2, а).

Схема на генератор на ван дер Грааф: положително заредена сфера, вертикален ремък между два ролкови вала, горна четка към сферата и долна заземена четка. — Фиг. 2, а — схема на генератора на ван дер Грааф: куха метална сфера 1, четка 2, гумен ремък 3 и заземена четка 4.

В задачата можете да използвате факта, че електричното поле на зарядите по повърхността на металната сфера е еквивалентно на полето на точков заряд със същата големина, намиращ се в центъра на сферата. Приемете, че потенциалът на Земята е нула.

Данни

Елементарен електричен заряд: $e = 1{,}60.10^{-19}$ C;

Константа в закона на Кулон: $k = 9{,}00.10^{9}$ N.m $^2$ /C $^2$ ;

Маса на протона: $m = 1{,}67.10^{-27}$ kg.

а) Върху сферата се натрупват заряди дотогава, докато във въздуха започнат да прескачат искри. Известно е, че електричен пробив във въздуха настъпва при интензитет на електричното поле $E = 3.10^{6}$ V/m. Колко е максималният заряд $q$ , който може да се натрупа върху сферата? [2 т.]

б) Колко е потенциалът $\varphi$ на сферата, когато зарядът ѝ достигне максималната си стойност? [1 т.]

в) Минимум каква работа $A$ трябва да извърши устройството, което задвижва ремъка, така че сферата да се зареди максимално? Коментирайте с едно-две изречения, защо пресметната от вас работа е по-малка от реално извършената работа. [4 т.]

г) В ядрен експеримент метална пластина трябва да бъде облъчена с високоенергетични протони. За целта до повърхността на сферата е поставен източник $И$ на протони с пренебрежимо малка начална скорост (фиг. 2, б). Протоните се ускоряват в дълъг вакуумиран канал, в чийто край е поставена заземената метална пластина $М$ . С каква скорост $v$ протоните достигат пластината? [3 т.]

Сфера отляво, от нея тръгва хоризонтален вакуумиран канал с източник на протони И в началото и заземена метална пластина М в десния край. — Фиг. 2, б — източник на протони И до повърхността на сферата и вакуумиран канал към заземената метална пластина М.

Отговори

Решение

а) Интензитетът на полето върху повърхността на сферата е:

E = \frac{kq}{R^2},

[1 точка]

Откъдето намираме максималния заряд върху сферата:

q = \frac{ER^2}{k} = 1{,}2.10^{-4}\ \mathrm{C}.

[1 точка]

б) Потенциалът на сферата е съответно:

\varphi = \frac{kq}{R} = 1{,}8.10^{6}\ \mathrm{V}.

[1 точка]

в) Потенциалът на Земята е нула. Следователно докато сферата се зарежда, напрежението между Земята и сферата се променя от $U_1 = 0$ до $U_2 = \varphi$ . [1 точка]

Средното напрежение, докато трае зареждането, е:

U_{\mathrm{ср}} = \frac{U_1 + U_2}{2} = \frac{\varphi}{2}.

[1 точка]

Устройството, задвижващо ремъка, трябва да извърши работа за преодоляване на електричните сили, действащи на електроните върху ремъка:

A = qU_{\mathrm{ср}} = \frac{q\varphi}{2} = 108\ \mathrm{J}.

[1 точка]

Реалната извършена работа е по-голяма, защото върху ремъка действат и сили на триене. [1 точка]

Алтернативно решение. Сферата и Земята може да бъдат разглеждани като плочи на кондензатор. [0,5 точки] Напрежението между Земята и сферата е равно на разликата в техните потенциали:

U = \varphi.

[0,5 точки]

Енергията на заредения кондензатор е:

W = \frac{CU^2}{2}.

[0,5 точки]

Като вземем предвид, че:

q = CU

[0,5 точки]

и че работата за зареждане на кондензатора е равна на електричната му потенциална енергия, намираме:

A = \frac{q\varphi}{2} = 108\ \mathrm{J}.

[1 точка]

Реалната извършена работа е по-голяма, защото върху ремъка действат и сили на триене. [1 точка]

г) Промяната на кинетичната енергия на протона е равна на работата на електричните сили:

\frac{mv^2}{2} = eU.

[1 точка]

Тъй като пластинката е заземена, нейният потенциал е нула. Следователно напрежението между източника и пластинката е:

U = \varphi.

[1 точка]

Оттук намираме:

v = \sqrt{\frac{2e\varphi}{m}} \approx 1{,}86.10^{7}\ \mathrm{m/s}.

[1 точка]

Оригинал в Архива: NOF2_2019_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2019_10-12solutions.pdf