Съдържание

НОФ 2019, II кръг (областен), 7. клас — Задача 3. Несмесващи се течности

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2019

Олимпиада по физика 2019, областен кръг, тема за 7. клас (първа състезателна група) · 5 февруари 2019 г. · 10 т.

Условие

Две несмесващи се течности имат различни плътности, съответно $\rho_1$ и $\rho_2$ . Във всяка от две еднакви празни цилиндрични чаши се налива както от първата, така и от втората течност. В първата чаша се наливат еднакви обеми от двете течности, а във втората – еднакви маси. Оказва се, че натискът на течностите върху дъното на първата и на втората чаша е еднакъв.

а) Как са разположени течностите във всяка от чашите? Обосновете отговора си. [1,5 т.]

б) Ако означим с $V_1$ общия обем на първата течност, налята в двете чаши, а с $V_2$ – общия обем на втората течност, налята в двете чаши, намерете отношението $\dfrac{V_1}{V_2}$ , изразено чрез плътностите $\rho_1$ и $\rho_2$ . [7,5 т.]

в) На колко е равно отношението $\dfrac{V_1}{V_2}$ , когато първата течност е вода с плътност $\rho_1 = 1\ \dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}$ , а втората – олио с плътност $\rho_2 = 0{,}8\ \dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}$ ? [1 т.]

Отговори

Решение

а) Ако допуснем, че едната течност с плътност $\rho_2$ е изцяло потопена в течността с плътност $\rho_1 > \rho_2$ , на нея ще действа изтласкваща сила, която е по-голяма от силата на тежестта. [0,5 т.] Тя ще започне да изплава, докато изцяло се разположи над течността с плътност $\rho_1$ . [0,5 т.] Така се образуват два слоя, разположени един над друг, като слоят отдолу има по-голяма плътност от слоя над него. [0,5 т.]

б) Да означим с $V_0$ обема на всяка течност, налята в първата чаша, а с $m_0$ – масата на всяка течност, налята във втората чаша. Тогава общата маса на течностите в първата чаша е $(\rho_1+\rho_2)V_0$ [1 т.], а общата маса на течностите във втората чаша е $2m_0$ [0,5 т.]. Тези маси са равни, тъй като течностите оказват еднакъв натиск върху дъното на чашите, т. е. в сила е равенството $(\rho_1+\rho_2)V_0 = 2m_0$ . [1 т.]

Тогава общият обем на всяка от течностите, налята в двете чаши, е съответно $V_1 = V_0 + \dfrac{m_0}{\rho_1}$ , $\qquad V_2 = V_0 + \dfrac{m_0}{\rho_2}$ . [2 т.]

Като изразим $m_0$ от първото равенство и заместим, намираме $V_1 = V_0\dfrac{3\rho_1+\rho_2}{2\rho_1}$ , $\qquad V_2 = V_0\dfrac{\rho_1+3\rho_2}{2\rho_2}$ . [2 т.]

Окончателно имаме $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\rho_2(3\rho_1+\rho_2)}{\rho_1(\rho_1+3\rho_2)}$ . [1 т.]

в) Заместваме стойностите на плътностите (не е необходимо преобразуване на единиците, тъй като за отношението на обемите няма измерителна единица) и получаваме $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{0{,}8\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3} \times 3{,}8\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}}{1\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3} \times 3{,}4\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}} = \dfrac{3{,}04}{3{,}4} \approx 0{,}9$ . [1 т.]

Забележка. Численият резултат трябва да бъде записан с една значеща цифра, тъй като с такава точност са зададени плътностите.

Оригинал в Архива: NOF2_2019_7problems.pdf · официални решения: NOF2_2019_7solutions.pdf