НОФ 2019, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Равнопроменливи движения

• а) $v_0 = \frac{3s_{\mathrm{наст}}}{10\,t_{\mathrm{изр}}} = 9\ \mathrm{m/s},\qquad a = \frac{s_{\mathrm{наст}}}{5\,t_{\mathrm{изр}}^2} = 1\ \mathrm{m/s^2}$

  Две числени стойности: $v_0 = 9\ \mathrm{m/s}$ (допуск $\pm 0{,}1\ \mathrm{m/s}$) и $a = 1\ \mathrm{m/s^2}$ (допуск $\pm 0{,}02\ \mathrm{m/s^2}$).

• б) $(s_2 - s_1)_{\max} = v_0 t_{\mathrm{изр}} - \frac{3a t_{\mathrm{изр}}^2}{4} = \frac{v_0^2}{3a} = \frac{3 s_{\mathrm{наст}}}{20} = 27\ \mathrm{m}$

• в) $s_1' = v_0 t_{\mathrm{спир}} + \frac{a t_{\mathrm{спир}}^2}{2} = \frac{12 v_0^2}{a} = \frac{27 s_{\mathrm{наст}}}{5} = 972\ \mathrm{m}$

а) Скоростите на двете тела се изразяват по следния начин: $v_1 = v_0 + at$, $v_2 = 2v_0 - at/2$, където $t$ е времето за движение. [0,5 т.] Оттук следва, че времето за изравняване на скоростите се получава от уравнението $v_0 + a t_{\mathrm{изр}} = 2v_0 - a t_{\mathrm{изр}}/2$, т.е. $t_{\mathrm{изр}} = \dfrac{2v_0}{3a}$. [0,5 т.] Пътищата, които изминават двете тела, се представят с изразите: $s_1 = v_0 t + a t^2/2$ и $s_2 = 2v_0 t - a t^2/4$. [1 т.] Следователно, времето за настигане $t_{\mathrm{наст}}$ може да се получи от уравнението $v_0 t_{\mathrm{наст}} + \dfrac{a t_{\mathrm{наст}}^2}{2} = 2 v_0 t_{\mathrm{наст}} - \dfrac{a t_{\mathrm{наст}}^2}{4}$, откъдето $t_{\mathrm{наст}} = \dfrac{4v_0}{3a}$. [0,5 т.] Оттук, изминатият път до момента на изпреварването е $s_{\mathrm{наст}} = v_0 t_{\mathrm{наст}} + \dfrac{a t_{\mathrm{наст}}^2}{2} = \dfrac{20 v_0^2}{9a}$. [1 т.] От изразите за $t_{\mathrm{изр}}$ и $s_{\mathrm{наст}}$ получаваме, че $v_0 = \dfrac{3 s_{\mathrm{наст}}}{10 t_{\mathrm{изр}}} = 9\ \mathrm{m/s}$ [1 т.], $a = \dfrac{s_{\mathrm{наст}}}{5 t_{\mathrm{изр}}^2} = 1\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

б) Максималната преднина на второто тяло (пред първото) се дава от израза $s_2\big(t_{\mathrm{изр}}\big) - s_1\big(t_{\mathrm{изр}}\big)$ [1 т.], защото преди изравняването на скоростите второто тяло има по-голяма скорост от първото и разстоянието между двете тела се увеличава, докато след изравняването на скоростите първото тяло е с по-голяма скорост и, съответно, разстоянието между телата намалява, т.е. максимумът на $s_2 - s_1$ се реализира точно, когато двете тела са с еднакви скорости: $(s_2 - s_1)_{\max} = s_2\big(t_{\mathrm{изр}}\big) - s_1\big(t_{\mathrm{изр}}\big) = v_0 t_{\mathrm{изр}} - \dfrac{3 a t_{\mathrm{изр}}^2}{4} = \dfrac{v_0^2}{3a} = \dfrac{3 s_{\mathrm{наст}}}{20} = 27\ \mathrm{m}$. [1,5 т.]

в) Второто тяло спира да се движи след време $t_{\mathrm{спир}}$, когато $v_2 = 2v_0 - \dfrac{a t_{\mathrm{спир}}}{2} = 0$, откъдето $t_{\mathrm{спир}} = \dfrac{4 v_0}{a}$. [0,5 т.] Търсеният път е $s_1' = s_1\big(t_{\mathrm{спир}}\big) = v_0 t_{\mathrm{спир}} + \dfrac{a t_{\mathrm{спир}}^2}{2} = \dfrac{12 v_0^2}{a} = \dfrac{27 s_{\mathrm{наст}}}{5} = 972\ \mathrm{m}$. [1,5 т.]