НОФ 2019, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Хлъзгащи се трупчета

• а) На лявото трупче действат $G_{\mathrm{л}}$, $N_{\mathrm{л}}$, $F$, $P_{\mathrm{л}}$ и $f_{\mathrm{л}}$; на дясното трупче действат $G_{\mathrm{д}}$, $N_{\mathrm{д}}$, $P_{\mathrm{д}}$ и $f_{\mathrm{д}}$.

• б) $k_{\mathrm{л}} = \frac{2\big[F - (m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}})a\big]}{(2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}) g} = 0{,}1,\qquad k_{\mathrm{д}} = \frac{3\big[F - (m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}})a\big]}{(2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}) g} = 0{,}15$

  Безразмерни: $k_{\mathrm{л}} = 0{,}1$ и $k_{\mathrm{д}} = 0{,}15$ (допуск $\pm 0{,}005$).

• в) $P = m_{\mathrm{д}}\big(a + k_{\mathrm{д}} g\big) = \frac{(3F - m_{\mathrm{л}} a) m_{\mathrm{д}}}{2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}} = 0{,}92\ \mathrm{N}$

• г) $a' = \frac{\big(k_{\mathrm{л}} m_{\mathrm{л}} + k_{\mathrm{д}} m_{\mathrm{д}}\big) g}{m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}} = \frac{F}{m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}} - a = 1{,}2\ \mathrm{m/s^2}$

а) Силите, които действат на трупчетата, са показани на чертежа вляво. На лявото трупче действа силата на тежестта $G_{\mathrm{л}}$, реакцията на опората $N_{\mathrm{л}}$, силата $F$, силата на натиск $P_{\mathrm{л}}$ от страна на дясното трупче, както и силата на триене $f_{\mathrm{л}}$. [1,5 т.] На дясното трупче действа силата на тежестта $G_{\mathrm{д}}$, реакцията на опората $N_{\mathrm{д}}$, силата на натиск $P_{\mathrm{д}}$ от страна на лявото трупче, както и силата на триене $f_{\mathrm{д}}$. [1,2 т.]

б) Силите на тежестта, които действат на двете трупчета, са с големини $G_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}} g$ и $G_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}} g$. [0,2 т.] От условията за равновесие на трупчетата във вертикално направление следва, че $N_{\mathrm{л}} = G_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}} g$ и $N_{\mathrm{д}} = G_{\mathrm{д}} = m_{\mathrm{д}} g$. [0,2 т.] На трупчетата действат сили на триене с големини $f_{\mathrm{л}} = k_{\mathrm{л}} N_{\mathrm{л}} = k_{\mathrm{л}} m_{\mathrm{л}} g$ и $f_{\mathrm{д}} = k_{\mathrm{д}} N_{\mathrm{д}} = k_{\mathrm{д}} m_{\mathrm{д}} g$. [0,2 т.] Като отчетем посоките на силите, които действат на трупчетата, от II принцип на механиката се получават следните две уравнения: $F - k_{\mathrm{л}} m_{\mathrm{л}} g - P_{\mathrm{л}} = m_{\mathrm{л}} a$ [0,7 т.] и $P_{\mathrm{д}} - k_{\mathrm{д}} m_{\mathrm{д}} g = m_{\mathrm{д}} a$ [0,7 т.], като $P_{\mathrm{л}} = P_{\mathrm{д}} = P$ от III принцип на механиката. Като съберем двете уравнения, за да изключим силите на натиск, получаваме, че $F - k_{\mathrm{л}} m_{\mathrm{л}} g - k_{\mathrm{д}} m_{\mathrm{д}} g = \big(m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}\big) a$. [0,5 т.] Нека да положим в последното уравнение, че $k_{\mathrm{л}} = 2x$, а $k_{\mathrm{д}} = 3x$. [0,3 т.] Тогава $x = \dfrac{F - (m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}) a}{(2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}) g}$ и така $k_{\mathrm{л}} = \dfrac{2\big[F - (m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}) a\big]}{(2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}) g} = 0{,}1$, а $k_{\mathrm{д}} = \dfrac{3\big[F - (m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}) a\big]}{(2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}) g} = 0{,}15$. [1,5 т.]

в) Големината на силите на натиск между трупчетата е $P = m_{\mathrm{д}}\big(a + k_{\mathrm{д}} g\big) = \dfrac{(3F - m_{\mathrm{л}} a) m_{\mathrm{д}}}{2 m_{\mathrm{л}} + 3 m_{\mathrm{д}}} = 0{,}92\ \mathrm{N}$. [1 т.]

г) След отстраняването на силата $F$ трупчетата продължават да се движат (вече равнозакъснително) долепени едно до друго, тъй като $k_{\mathrm{д}} > k_{\mathrm{л}}$. Това се вижда, като разпишем II принцип на механиката за двете трупчета в този случай: $k_{\mathrm{л}} m_{\mathrm{л}} g + P' = m_{\mathrm{л}} a'$ [0,5 т.] и $k_{\mathrm{д}} m_{\mathrm{д}} g - P' = m_{\mathrm{д}} a'$. [0,5 т.] В последните две уравнения сме отчели, че ускорението е насочено наляво за разлика от преди. След събиране на двете уравнения получаваме, че $a' = \dfrac{\big(k_{\mathrm{л}} m_{\mathrm{л}} + k_{\mathrm{д}} m_{\mathrm{д}}\big) g}{m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}} = \dfrac{F}{m_{\mathrm{л}} + m_{\mathrm{д}}} - a = 1{,}2\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т.]

Внимание! (важи за решенията на всички задачи) — За всякакви алтернативни решения, обяснени ясно и получаващи същите резултати, да се присъжда пълния брой точки, посочени за съответното подусловие.