НОФ 2019, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Ускорително движение

• а) $F = 2ms\left(\frac{1}{t_2^{2}} - \frac{1}{t_1^{2}}\right)$
• б) $F_{\mathrm{т}} = 2ms\left(\frac{1}{t_2^{2}} - \frac{1}{t_1^{2}}\right) - \frac{2ms}{t_1^{2}} = 2ms\left(\frac{1}{t_2^{2}} - \frac{2}{t_1^{2}}\right)$
• в) $t_3 = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{t_2^{2}} - \dfrac{1}{t_1^{2}}}} = \frac{t_1 t_2}{\sqrt{2t_1^{2} - t_2^{2}}}$

а) При движение на тяло под действие на силите $F$ и $F_{\mathrm{т}}$, вторият закон на Нютон изглежда така: $F - F_{\mathrm{т}} = ma_1$. [1 т.] Изминатият път $s$, ускорението $a_1$ и времето $t_1$ за преместване на това разстояние са свързани така: $s = \dfrac{1}{2}a_1 t_1^{\,2}$. [1 т.] За втория случай формулите са същите: $2F - F_{\mathrm{т}} = ma_2$, $s = \dfrac{1}{2}a_2 t_2^{\,2}$. Ако от третото равенство извадим първото, се получава $F = m(a_2 - a_1)$. Изразявайки ускоренията от второто и четвъртото равенство, се получава $F = 2ms\left(\dfrac{1}{t_2^{\,2}} - \dfrac{1}{t_1^{\,2}}\right)$. [1 т.]

б) Силата на триене $F_{\mathrm{т}}$ може да се получи от първото уравнение: $F_{\mathrm{т}} = F - ma_1 =$ [1 т.] $= 2ms\left(\dfrac{1}{t_2^{\,2}} - \dfrac{1}{t_1^{\,2}}\right) - \dfrac{2ms}{t_1^{\,2}} = 2ms\left(\dfrac{1}{t_2^{\,2}} - \dfrac{2}{t_1^{\,2}}\right)$. [2 т.]

в) Когато на тялото действа сила $F_3 = 3F$, вторият закон на Нютон изглежда така: $3F - F_{\mathrm{т}} = ma_3$. [1 т.] Ускорението при това движение е $a_3 = \dfrac{2s}{t_3^{\,2}}$. Замествайки с получените резултати за $F$, $F_{\mathrm{т}}$ и $a_3$, се получава $6ms\left(\dfrac{1}{t_2^{\,2}} - \dfrac{1}{t_1^{\,2}}\right) - 2ms\left(\dfrac{1}{t_2^{\,2}} - \dfrac{2}{t_1^{\,2}}\right) = \dfrac{2ms}{t_3^{\,2}}$. [1 т.] Като съкратим на множителя $2ms$, получаваме $\dfrac{1}{t_3^{\,2}} = \dfrac{2}{t_2^{\,2}} - \dfrac{1}{t_1^{\,2}}$, откъдето следва $t_3 = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{t_2^{\,2}} - \dfrac{1}{t_1^{\,2}}}} = \dfrac{t_1 t_2}{\sqrt{2t_1^{\,2} - t_2^{\,2}}}$. [2 т.]