Съдържание

НОФ 2019, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 4. Слънчева физика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2019

Национална олимпиада по физика 2019, национален кръг, IV възрастова група (10.–12. клас) · 5 май 2019 г. · 15 т.

Условие

Интензитетът на слънчевата светлина, която достига земната орбита, е $I_0 = 1370\ \mathrm{W/m^2}$ (т.нар. слънчева константа). Радиусът на земната орбита е $r_0 = 1{,}5.10^{11}\ \mathrm{m}$ . Радиусът на Слънцето е $R_{\odot} = 7{,}0.10^{8}\ \mathrm{m}$ , а масата му – $M_{\odot} = 2{,}0.10^{30}\ \mathrm{kg}$ .

Подточка а) е независима от останалите подточки на задачата и може да се решава и след тях!

Фундаментални физични константи:

скорост на светлината във вакуум, $c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ;
гравитационна константа, $G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3/(kg.s^2)}$ ;
константа на Стефан – Болцман, $\sigma = 5{,}67.10^{-8}\ \mathrm{W/(K^4.m^2)}$ ;
константа на Вин, $b = 2{,}90.10^{-3}\ \mathrm{m.K}$ ;
константа на Планк, $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ .

а) В някои проекти за пътуване до други планети от Слънчевата система се предлага задвижване на космическите кораби посредством т.нар. слънчеви платна. Слънчевото платно е тънко алуминиево фолио, поставено перпендикулярно на падащите върху него слънчеви лъчи. Космическият кораб се задвижва поради налягането на слънчевата светлина, отразена от платното.

Намерете минималната дебелина $d$ на слънчево платно, при която силата на светлинното налягане уравновесява гравитационната сила, действаща на платното. Приемете, че платното отразява напълно падащата светлина. Размерът на платното е малък в сравнение с радиуса на земната орбита. Плътността на алуминия е $\rho = 2700\ \mathrm{kg/m^3}$ . [6 т.]

б) Следващите подточки са независими от т. а) и може да бъдат решавани преди нея.

Като използвате данните от условието, оценете температурата $T$ на повърхността на Слънцето. Приемете, че Слънцето излъчва като абсолютно черно тяло. [3 т.]

в) Намерете дължината $\lambda_0$ на електромагнитната вълна, при която излъчването на Слънцето е най-интензивно. [1 т.]

г) Известно е, че минималният фотонен поток*, който може да предизвика зрително възприятие в човешкото око, е $\Phi_{min} \approx 1.10^{8}$ фотона/ $(\mathrm{m^2.s})$ . Приблизително колко светлинни години е максималното разстояние $r_{max}$ , на което Слънцето може да бъде видяно с невъоръжено око? Можете да приемете като приближение, че слънчевата светлина се състои от фотони с еднаква енергия.

*Фотонен поток $\Phi$ се нарича броят фотони, които минават за единица време през единица площ, перпендикулярна на светлинния сноп. [5 т.]

Отговори

Решение

а) Нека $S$ е площта на платното. Тогава масата на платното е

m = \rho S d,

а гравитационната сила, която му действа:

F_G = \frac{GM_{\odot}\rho S d}{r_0^2}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

За време t върху платното падат фотони с обща енергия $E = I_0St$ . Енергията на един отделен фотон е $\epsilon = h\nu$ , а импулсът му: $p = h/\lambda = h\nu/c = \epsilon/c$ . Следователно общият импулс на фотоните, попаднали върху платното е:

P = \frac{E}{c} = \frac{I_0St}{c}. \qquad \textbf{(2.0 т)}

След като всички фотони се отразят от платното, импулсът им запазва големината си, но променя посоката си на противоположна. Следователно общият импулс, който светлината придава на платното е:

\Delta P = P - (-P) = 2P. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Съответно силата на светлинното налягане върху платното е:

F_L = \frac{\Delta P}{t} = \frac{2I_0S}{c}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

От условието $F_G = F_L$ за уравновесяване на силите получаваме:

d = \frac{2I_0r_0^2}{GM_{\odot}\rho c} \approx 5{,}7.10^{-7}\ \mathrm{m}\ (570\ \mathrm{nm}). \qquad \textbf{(1.0 т)}

б) Мощността на излъчване (т.е. светимостта) на Слънцето е:

P = \sigma T^4.4\pi R_{\odot}^2. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Ако приемем, че излъчената енергия не се поглъща в междупланетното пространство, следва, че интензитетът на слънчевото лъчение, достигащо земната орбита, е:

I_0 = \frac{P}{4\pi r_0^2} = \frac{\sigma T^4R_{\odot}^2}{r_0^2}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Оттук намираме:

T = \sqrt{r_0/R_{\odot}}\,\sqrt[4]{I_0/\sigma} \approx 5800\ \mathrm{K}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

в) От закона на Вин намираме, че Слънцето излъчва най-интензивно лъчение с дължина на вълната:

\lambda_0 = \frac{b}{T} = 500\ \mathrm{nm}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

г) Интензитетът на слънчевата светлина на произволно разстояние r от Слънцето се дава с израза:

I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{I_0r_0^2}{r^2}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Ако приемем, че слънчевата светлина се състои основно от фотони с дължина на вълната $\lambda_0$ , т.е. с еднаква енергия:

\epsilon = h\nu = \frac{hc}{\lambda_0}, \qquad \textbf{(1.0 т)}

следва, че фотонният поток на разстояние r от Слънцето е:

\Phi = \frac{I}{\epsilon} = \frac{I_0r_0^2\lambda_0}{hcr^2}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

На търсеното разстояние $r_{max}$ фотонният поток е равен на $\Phi_{min}$ , т.е.

r_{max} = r_0\sqrt{\frac{I_0\lambda_0}{\Phi_{min}hc}} \approx 8{,}8.10^{17}\ \mathrm{m}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Разстоянието, което светлината изминава за време t = 1 година е:

s = ct = 3.10^{8}\ \mathrm{m/s}\ .365\ \text{дни}\ .\ 24\ \text{часа}\ .\ 3600\ \mathrm{s} = 9{,}46.10^{15}\ \mathrm{m}.

Следователно максималното разстояние, от което може да бъде видяно Слънцето, изразено в светлинни години, е:

r_{max} = 8{,}8.10^{17}\,\mathrm{m}/(9{,}46.10^{15}\ \mathrm{m/\text{св. год.}}) \approx 93\ \text{светлинни години}. \qquad \textbf{(1.0 т)}

Оригинал в Архива: NOF3_2019_10-12problems.pdf · официални решения: NOF3_2019_10-12solutions.pdf