Съдържание

НОФ 2019, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Хлъзгащи се тела

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2019

Национална олимпиада по физика 2019, национален кръг, втора възрастова група (8. клас) · 6 април 2019 г. · 10 т.

Условие

Две тела с форма на кубчета се хлъзгат по хоризонтална повърхност. Земното ускорение е $g$ . Масата на първото тяло е $m_1$ , а на второто е $m_2$ . Коефициентът на триене на първото тяло с повърхността е $k_1$ , а на второто тяло с повърхността е $k_2$ , като $k_1 > k_2$ . Ако първото тяло се хлъзга свободно по повърхността, то се движи с ускорение $a_1$ . Ако второто тяло се хлъзга свободно по повърхността, то се движи с ускорение $a_2$ . Ако двете тела се движат свободно по повърхността, като са допрени и първото тяло е пред второто, те се движат с ускорение $a$ .

Две допрени кубчета m1 и m2 върху щрихована хоризонтална повърхност; стрелка надолу означава земното ускорение g. — Двете кубчета с маси $m_1$ и $m_2$ върху хоризонталната повърхност с коефициенти на триене $k_1$ и $k_2$ .

а) Получете формула как $a$ зависи от $a_1, a_2, m_1$ и $m_2$ . [3 т.]

б) Получете формула за силата $T$ , с която второто тяло натиска първото, когато се хлъзгат свободно заедно. Формулата да съдържа само $a_1, a_2, m_1$ и $m_2$ . [2 т.]

в) Измерва се спирачният път на телата при една и съща начална скорост. Първото тяло изминава път $s_1$ , докато спре; второто – $s_2$ . Когато двете тела се движат заедно, допрени едно до друго, и първото е преди второто, спирачният път е $s$ .

Получете формула как $s$ зависи от $s_1, s_2, m_1$ и $m_2$ . [3 т.]

г) Получете формула как зависи отношението на масите $x = \frac{m_1}{m_2}$ от отношенията на спирачните пътища $y = \frac{s_2}{s_1}$ и $z = \frac{s}{s_1}$ . Каква е стойността на $x$ , ако $y = 3$ и $z = 2$ ? [2 т.]

Отговори

Решение

а) Когато първото тяло се движи свободно, то спира под действие на силата на триене $F_{1\text{тр}} = k_1 R = k_1 m_1 g = m_1 a_1$ . Следователно $a_1 = k_1 g$ . [0,5 т.] Аналогично за ускорението на спиране на второто тяло се получава $a_2 = k_2 g$ . Когато двете тела се движат заедно, второто тяло натиска първото тяло напред със сила $T$ и му намалява ускорението до $a$ , а първото тяло натиска второто тяло назад със същата по големина сила $T$ и му увеличава ускорението до $a$ . [0,5 т.] Тогава $F_{1\text{тр}} - T = m_1 a$ [0,5 т.] и $F_{2\text{тр}} + T = m_2 a$ . [0,5 т.] Като съберем двете уравнения, $F_{1\text{тр}} + F_{2\text{тр}} = (m_1 + m_2)a$ , откъдето $a = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ . [1 т.]

б) Силата $T$ , с която второто тяло натиска първото, може да се получи, като заместим резултата за $a$ в първото уравнение, $T = F_{1\text{тр}} - m_1 a = m_1(a_1 - a) = m_1\left(a_1 - \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}\right)$ . [1 т.] След опростяване $T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}(a_1 - a_2)$ . [1 т.]

в) При спиране от начална скорост $v_0$ , скоростта се променя с времето така, $v = v_0 - at$ , а изминатият път така: $l = v_0 t - \frac{1}{2} a t^2$ . Следователно от първото уравнение следва, че времето до пълното спиране е $t_{\text{сп}} = \frac{v_0}{a}$ . Замествайки това време във второто уравнение, за спирачният път се получава $s_{\text{сп}} = \frac{v_0^{\,2}}{2a}$ . [1 т.] Така в получената формула за ускорението $a$ в подусловие а) можем да заместим с израза $\frac{v_0^{\,2}}{2s}$ . Така ще получим $\frac{v_0^{\,2}}{2s} = \frac{m_1\frac{v_0^{\,2}}{2s_1} + m_2\frac{v_0^{\,2}}{2s_2}}{m_1 + m_2}$ . След опростяване $s = \frac{(m_1 + m_2)s_1 s_2}{m_1 s_2 + m_2 s_1}$ . [2 т.]

г) Ако в последната получена формула разделим двете страни на $s_1$ , а числителя и знаменателя на дясната страна разделим на $s_1$ и $m_2$ , ще получим $\frac{s}{s_1} = \frac{\left(\frac{m_1}{m_2} + 1\right)\frac{s_2}{s_1}}{\frac{m_1 s_2}{m_2 s_1} + 1}$ . Използвайки символите за отношенията на пътищата и масите, $z = \frac{(x+1)y}{xy+1}$ . Решавайки това уравнение спрямо $x$ , се получава $x = \frac{y - z}{y(z-1)}$ . [1 т.] Замествайки с дадените стойности, $x = \frac{3-2}{3(2-1)} = \frac{1}{3}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2019_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2019_8solutions.pdf